$2\times2$ matrices no son lo suficientemente grandes

Question

Olga Tausky-Todd le había dicho que

"Si una aserción acerca de las matrices es falso, no es generalmente una matriz de 2x2 que revela."

Hay, sin embargo, afirmaciones acerca de las matrices que son verdaderas para $2\times2$ matrices, pero no para los grandes. Me encontré con un bonito ejemplo de ayer. En realidad, cada estudiante que haya cursado el primer año de álgebra lineal debe saber que aún hay afirmaciones que son verdaderas para $3\times3$ matrices, pero falso para los mayores --- la regla de Sarrus es un ejemplo evidente; una pregunta que me respondió el año pasado proporciona otro.

Así que, aquí está mi pregunta. ¿Cuál es su favorito de la afirmación de que es cierto para las pequeñas matrices, pero no para los mayores? Aquí, $1\times1$ matrices son ignorados porque constituyen casos especiales con demasiada facilidad (de lo contrario, Tausky-Todd no hubiera hecho el comentario de arriba). Las afirmaciones son preferiblemente bastante simple de entender, pero su disproofs para grandes matrices pueden ser avanzado o difícil.

Answer 1

Cualquier matrices de dos rotación viajan.

Answer 2

Me gusta ésta: dos matrices son similar (Conjugado) si y sólo si tienen los mismo polinomios mínimos y características y las mismas dimensiones de subespacios propios correspondientes al mismo valor propio. Esta declaración es verdad para todas matrices de $n\times n$ $n\leq6$, pero es falsa para $n\geq7$.

Answer 3

Se llama una matriz doblemente estocástica si todas sus entradas son no negativos y las sumas de cada fila y columna a 1. Una matriz se llama orthostochastic si se trata de la Plaza entry-wise de alguna matriz ortogonal. En general, es fácil ver que cada matriz orthostochastic es doblemente estocástica.

Para $2\times 2$ matrices, cada matriz doble estocástica es orthostochastic, pero para $3\times 3$ matrices (y por lo tanto, nada más) tenemos el contraejemplo % $ $$ \frac{1}{2}\left(\begin{matrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{matrix}\right)$

Answer 4

Aquí está una declaración falsa que me topé recientemente que requiere un contraejemplo de $3 \times 3$: "si $A$ es normal, también lo es cada submatrix principal de $A$". Es en un sentido "tentación" de creer esto porque la declaración análoga se aplica a matrices de hermítica y sesgo hermítica.

Más simple contraejemplo: $$ A = \pmatrix{0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\\1 & 0 & 0} $$

Answer 5

Refiriéndose a la cuestión Puede matrices que conmutan $X,Y$ siempre ser escrito como polinomios de algunos matriz $A$? se puede decir que incluso el más fuerte de la propiedad "para dos matrices que conmutan uno de ellos puede ser escrita como un polinomio en el otro" tiene por $2\times2$ matrices (de hecho, a menos que uno sea un escalar múltiples de la identidad tanto puede ser escrito como un polinomio en el otro), pero no para $3\times3~$matrices. La propiedad más débil de la cuestión se refiere (que permite que una tercera matriz se utiliza para expresar tanto los desplazamientos de las matrices) también resulta contraejemplos de tamaño$~3\times3$, pero son lo suficientemente raro que al principio pensé que el más débil de la propiedad sería de validez general.