¿Cómo calcular el Intervalo de Confianza asociado al incremento de una proporción Binomial?

Question

No estoy seguro de que puedan ayudarme, pero este es el problema.

Tengo dos proporciones binomiales A y B (IC 95%) -

$A = 2\% \pm 0.2\%,\quad B = 3\% \pm 0.2\%.$

Es decir, la proporción de B es un 50% mayor que la de A.

Los empresarios suelen preferir hablar de esta diferencia en términos de incremento porcentual. Es decir, la proporción de B es un 50% mayor que la de A. ¿Cómo puedo calcular un intervalo de confianza para el aumento del 50% de la proporción de B sobre la de A?

He investigado un poco la fórmula de Fieller que se dice que proporciona un porcentaje exacto de efecto. Sin embargo, además de no entender el teorema de Fieller, no sé cómo podría calcular esto en R.

¿Alguien puede ayudar?

Editar: Por ejemplo, si el IC para esos intervalos es del 95%, el IC para el aumento del 50% = 98,52%.

Answer 1

Siguiendo a Whuber enlace a Wikipedia tienes

Supongamos que $a$ et $b$ son conjuntamente normalmente distribuidos, y que $b$ es no se acerque demasiado a cero (es decir, más específicamente, que el error estándar de $b$ es pequeño en comparación con $b$ )

$$\operatorname{Var} \left( \frac{a}{b} \right) = \left( \frac{a}{b} \right)^{2} \left( \frac{\operatorname{Var}(a)}{a^2} + \frac{\operatorname{Var}(b)}{b^2}\right).$$

aunque en realidad quieres $\operatorname{Var} \left( \frac{B}{A} \right)$ .

Si su IC del 95% es $\pm 0.002$ entonces sus desviaciones para $A$ et $B$ son $(0.002/1.96)^2 \approx 0.00000104$ Así que $\operatorname{Var} \left( \frac{B}{A} \right) \approx 0.00846$ . Tomando la raíz cuadrada y multiplicando por 1,96 se obtiene $$\frac{B}{A} \approx 1.5 \pm 0.18$$

Si hay que convertir esto en porcentajes (creo que confunde más que ilumina) entonces se convierte en

La proporción de B es un 50% mayor que la de A, más o menos un 18%, es decir, entre un 32% y un 68% más.

En R se podría simular esto con algo como

> n <- 1000000
> A <- 0.02 + (0.002 / qnorm(0.975)) * rnorm(n)
> B <- 0.03 + (0.002 / qnorm(0.975)) * rnorm(n)
> C <- B / A
> quantile(C,  probs = c(0.025, 0.5, 0.975))
    2.5%      50%    97.5% 
1.333514 1.499955 1.697418 

que está razonablemente cerca.