Todo elemento de un grupo abeliano finito con equivalencia de orden libre cuadrado

Question

Actualmente estoy teniendo algunos problemas con este problema:

Dado $G$ un grupo abeliano finito, demostrar que los siguientes son equivalentes:

$1.$ Dado cualquier subgrupo $H$ existe un subgrupo $K$ tal que $HK = G$ y $H \cap K = \{e\}$

$2.$ Cada elemento de $G$ tiene un orden libre de cuadrados

Estoy trabajando en el $1 \to 2$ dirección, pero no estoy seguro de lo que debo hacer. Primero supuse que $1$ era cierto y asumía que había una $x$ con orden $p^2$ con la expectativa de que el caso $p^kn$ seguiría. Claramente $<x>$ es un subgrupo de $G$ por lo que existe un $K$ y $<x>$ es isomorfo a $C_{p^2}$ . He demostrado que $C_{p^2}$ no tenía la primera propiedad, y sé que $<x> \times K \cong C_{p^2} \times K \cong G$

Sin embargo, me quedo atascado aquí. Desde $K$ es un grupo abeliano finito, se puede descomponer en un producto de grupos cíclicos, todos de orden primo. Si pudiera demostrar que $|K|$ y $p^2$ (o $p^kn$ ) fueran relativamente primos, estaría hecho, pero no sé si esto es cierto.

Tenemos el Teorema del Resto Chino, las descomposiciones de grupos abelianos finitos (tanto cíclicos como p-grupos), y la unicidad.

Answer 1

La respuesta de los Zhou es perfecta, pero quiero describir más grupos de este tipo.

Un subgrupo $K$ de un grupo $G$ se dice que se complementa en $G$ si existe un subgrupo $H$ de $G$ tal que $KH = G$ y $H\cap K= 1$ . Si cada subgrupo de $G$ tiene un suplemento propio (complemento), entonces $G$ se llama $aC$ -grupo.

Hay un gran número de artículos sobre el finito y el infinito $aC$ -Grupo. En $1937$ , Sala caracterizado finito $aC$ -grupos por primera vez; sin embargo, no utilizó el término $aC$ -grupo. Utilizó grupos complementados en lugar de $aC$ -Grupo. En $2000$ , Kappe y Kirtland publicó un artículo que es una breve reseña sobre $aC$ -grupos.

$1.$ P. Hall, Complemented groups, J. London Math. Soc. $12$ $(1937)$ $201–204$ .

$2.$ L.-C. Kappe, J. Kirtland, Supplementaion in groups, Glasgow Math. J. $42$ $(2000)$ $37–50$ .

Answer 2

Supongamos que $x\in G$ tal que $|x|=p^2$ . Por 1, $G=<x^p> L$ para algunos $L \le G$ y $<x^p> \cap L=\{e\}$ . Ahora $<x>=<x> \cap G=<x> \cap <x^p>L=<x^p> (<x> \cap L)$ (Espero que conozcas la ley modular de Dedekind), esto es imposible.