¿Cuántas funciones uno a uno hay entre dos conjuntos en los que el $k$ elemento del dominio no se asigna al $k$ ¿elemento del codominio?

Question

Supongamos que $2$ conjuntos con cardinalidad $X=5$ y $Y=7$ .

¿Cuántas funciones uno a uno de $X$ a $Y$ tal que $k$ elemento de $X$ no debe alinearse con el $k$ elemento de $Y$ ?

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Creo que los posibles uno a uno son $6\times 5\times 4\times 3\times 2$ Pero no estoy seguro.

Answer 1

Número total de funciones uno a uno de $X$ a $Y$ = $^7P_5=2520$ .

Ahora bien, si alguno de los $k$ Los elementos de $X$ y $Y$ alinear (llame a esta propiedad $A$ ) , tenemos los siguientes casos:

1. $X_1 \to Y_1$ y el resto sin restricciones
2. $X_2 \to Y_2$ y el resto sin restricciones
3. $X_3 \to Y_3$ y el resto sin restricciones
4. $X_4 \to Y_4$ y el resto sin restricciones
5. $X_5 \to Y_5$ y el resto sin restricciones

Cada uno de ellos crea $^6P_4=360$ funciones que implican $1800$ funciones en total.

Pero luego hay repeticiones como $(1)$ y $(2)$ contienen partes de cada uno y así también para los demás. De ahí que haya sobrecálculos.

Así que deducimos $\binom{5}{2}\times \,^5P_3= ?_1$ funciones.

Pero, de nuevo, hemos deducido en exceso aquellos en los que $3$ casos tienen su intersección.

Así que añadimos $\binom{5}{3}\times \,^4P_2= ?_2$ funciones.

Una vez más, hay un exceso de cálculo de aquellas funciones en las que $4$ casos tienen su intersección.

Así que deducimos $\binom{5}{4}\times \,^3P_1= ?_3$ funciones.

Pero, de nuevo, hemos deducido en exceso aquellos en los que $5$ casos tienen su intersección. Y por eso añadimos $1$ función.

Así que el número total de funciones que satisfacen la propiedad $A$
\= $1800-\binom{5}{2}\times \,^5P_3+\binom{5}{3}\times \,^4P_2-\binom{5}{4}\times \,^3P_1+1=?_4$

Por lo tanto, su respuesta es $2520-?_5$ .

Espero que esto ayude.