Diferencia entre funcional y función.

Question

Me encontré con el término 'functional'. ¿Cómo es diferente un 'functional' de una 'function'? El término exacto que encontré fue 'statistical functional'.

En términos del contexto, ¿puedes enfocarte en las primeras líneas seguidas de los cuatro ejemplos en http://sites.stat.psu.edu/~dhunter/asymp/fall2002/lectures/ln14.pdf ?

La definición parece ser bastante generalizada dado los ejemplos. ¿Hay alguna clave en la definición que no sea demasiado general ni demasiado restrictiva?

Answer 1

La definición técnica moderna de un funcional es una función de un espacio vectorial en el campo escalar. Por ejemplo, encontrar la longitud de un vector es un funcional (no lineal), o tomar un vector y devolver la tercera coordenada (en relación a alguna base) es un funcional (lineal).

Pero en un sentido clásico, funcional es un término anticuado para una función que toma una función como entrada. Por ejemplo, la función derivativeAt(p)(_) que toma una función f y devuelve f'(p) es un funcional en el sentido clásico, al igual que la función integralOver(a,b)(_) que toma una función f y devuelve la integral de f en [a, b].

Hoy en día, llamaríamos a estas funciones de orden superior en un entorno de Ciencias de la Computación, pero en un entorno de Matemáticas normalmente solo las llamamos funciones, o coloquialmente funcionales para distinguirlas de las otras funciones con las que estamos trabajando en ese momento. Sospecho que tu texto de estadísticas podría estar usando esta versión clásica del término coloquialmente.

Answer 2

Por lo general, un funcional es simplemente una función de un conjunto en un campo $F$. Los que mejor conozco son "funcionales lineales," donde un funcional es una función lineal de un espacio vectorial $F$ en $F".

Me temo que no conozco la referencia "estadística", solo sé que lo anterior es cierto en el análisis funcional y algunas matemáticas aplicadas que he leído.

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Agregado: Ah, también olvidé que a veces la gente llama "funcionales" a "funciones de funciones".

Answer 3

La palabra "funcional" tiene cierta ambigüedad debido a su significado, el cual puede variar dependiendo del contexto/campo de estudio. Wikipedia enumera tres casos en los que el significado de la palabra "funcional" cambia según el contexto.

• En álgebra lineal, como ya se ha mencionado en respuestas anteriores, la palabra "funcional" se refiere a un mapeo lineal desde un espacio de vectores $\mathbf{V}$ hacia un campo $\mathbf{F}$ de escalares.
• En análisis, significa un mapeo desde un espacio $\mathbf{X}$ hacia los números reales $\mathbb{R}$ o complejos $\mathbb{C}$, pero el mapeo no tiene que ser necesariamente lineal.
• En informática, indica funciones de orden superior, es decir, funciones que reciben otras funciones como argumentos.
• En estadística, podría tratarse de una función $f$ que se mapea hacia una distribución $\mathbf{F}$, donde $f$ actúa como los parámetros de la función de distribución $\mathbf{F}$, también conocida como funcionales estadísticos (por ejemplo, $\mu = \mathbb{E}_{\mathbf{F}}[X]$).