Secuencia de funciones lineales continuas sobre una secuencia de espacios de Hilbert

Question

Dejemos que $H_n$ sea una secuencia de espacios de Hilbert complejos tal que $H_{n+1}\subsetneq H_n$ y $\bigcap_{n=1}^\infty H_n=\{v_0\}$

Dejemos que $T_1:H_1\to \mathbb C$ sea una función lineal continua tal que $T_1(v_0)=0$

Dejemos, para cada $n \in \mathbb N$ , $T_n:H_n\to\mathbb C$ los funcionales lineales continuos obtenidos por restricción de $T_1$ a $H_n$

Me gustaría saber si $\lim_{n\to\infty}\lVert T_n \rVert = 0$

Gracias por cualquier sugerencia.

Answer 1

Sí, tu afirmación es cierta incluso para los reflexivos 1 Espacios de Banach en lugar de espacios de Hilbert.

Dejemos que $x_n\in H_n$ con $\|x_n\| = 1$ y $|T_n(x_n)| = \|T_n\|$ . Este elemento existe porque $H_n$ es reflexivo 2 .

Supongamos primero que $H_1$ es separable.

Ahora, como la bola unitaria cerrada es débilmente compacta y $H_1$ es separable hay una subsecuencia $(x_{n_k})_k$ de $(x_n)_n$ que converge débilmente a algún $x\in H_1$ . Porque cada $H_n$ es cerrado y convexo en $H_1$ También es débilmente cerrado. Para cada $n\in\mathbb N$ Casi todos los $x_{n_k}$ son un elemento de $H_n$ Por lo tanto $x\in H_n$ para todos $n\in\mathbb N$ , lo que da como resultado $x=0$ .

Pero ahora, $x_{n_k}\to 0$ débilmente lo que da como resultado $\|T_{n_k}\| = |T_{n_k}(x_{n_k})| = |T_1(x_{n_k})|\to 0$ . Dado que la secuencia de $\|T_n\|$ es decreciente, esto da lugar a la afirmación.

Si $H_1$ no es separable, entonces sustituye $H_n$ con $X_n := H_n\cap \overline{\operatorname{span}}(\{x_i: i\in\mathbb N\})$ . La restricción de $T_n$ de $H_n$ a $X_n$ preserva la norma y $X_1$ es separable.

1 No sé si la reflexividad es necesaria, pero mi prueba se basa en ella. Definitivamente no es cierto para cada espacio de Banach como se señala en los comentarios. Gracias por el ejemplo.

2 No necesitamos la reflexividad en este punto, sólo hace que la prueba sea más sencilla. Bastaría con tener $|T_n(x_n)|\geq \frac 12\|T_n\|$ que siempre encontramos.