Estoy tratando de aplicar el de Gauss-Legendre método de cuarto orden (como método de Runge-Kutta) en el siguiente sistema de ecuaciones
$$\left\{ \begin{matrix} \dot{a} =& -b \\ \dot{b} =& a \\ \end{de la matriz} \right.$$
y quiero que el resultado sea una relación de recurrencia, es decir, de la forma
$$\begin{pmatrix} a_{n+1} \\ b_{n+1} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} d_1 & d_2 \\ d_3 & d_4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a_{n} \\ b_{n} \end{pmatrix}$$
donde todavía tiene que encontrar la $d$ elementos. El problema que estoy luchando con es que el $c$-elementos de la carnicería tableau (de Gauss-Legendre método de orden 4), se $c_1 = \frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{6}$$c_2=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{6}$, lo que se traducirá en una diferente paso de discretización de la $a_{n+1} = a_n + h$ $b_{n+1} = b_n + h$ de la recurrencia de la relación. Cualquier consejos y ayuda, son bienvenidos!
Edit: el carnicero de tableau para el 2-pasos de Gauss-Legendre (método de cuarto orden) está dada por
\begin{array}{c|ccc} \frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{6} & \frac{1}{4} & \frac{1}{4}-\frac{\sqrt{3}}{6}\\ \frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{6} & \frac{1}{4}+\frac{\sqrt{3}}{6} & \frac{1}{4} \\ \hline & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{array}
Añadido: estas son las ecuaciones que tengo en el momento
$$ a_{n+1} = a_n + \frac{1}{2}hk_1 + \frac{1}{2}hk_2 \\ \, \, k_1 = f(t_n + (\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{6})h, a_n + \frac{1}{4}k_1 + (\frac{1}{4}-\frac{\sqrt{3}}{6})k_2) \\ \, \, k_2 = f(t_n + (\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{6})h, a_n + (\frac{1}{4}+\frac{\sqrt{3}}{6})k_1 + \frac{1}{4}k_2) $$ El mismo tiene para la $b$ parte (con $g$ en lugar de $f$).
