Edit: Mierda, incluso mi hipótesis era incorrecta. Si pones $A = \left[ \begin{array}{cc} 1&-1\\3&-2 \end{array} \right]$, $A^3 = I$ pero no autovalor es $1$. (Lo cierto es que todos los autovalores son $n$th raíces de la unidad.)
Pregunto esto porque creo que puede resolver un complicado problema en el que estoy trabajando de una manera sencilla. Obviamente esto es falso si $n$ es aún, pero yo no tengo ningún contraejemplo si $n$ es impar. De hecho, si $x$ es un autovector de a $A$,
$$A^nx = \lambda^nx = Ix = x \implies \lambda = 1 $$
por lo $\lambda = 1$ es el único autovalor de la matriz. Esto dice $\operatorname{trace}(A) = n$$p(\lambda) = (1 - \lambda)^n$. (Trivialmente, $\det(A) = 1$ desde el multiplicativity de la determinante.)
(Por cierto, soy consciente de que hay una sutileza en el supuesto de un verdadero autovector existe, ya que la rotación-por-$90^{\circ}$ matriz satisface $A^4 = I$ y no tiene ninguno; pero parece que la condición de que $A^n = I$ por extraño $n$ puede encargarse de este problema).
¿Cómo podemos demostrar esto, de una manera bastante sencilla? (Si la prueba es complicado, estoy todavía en juego, pero probablemente no es la intención de la solución a mi problema original.)
