Probar que si $S$ es un conjunto finito, a continuación, $S$ no tiene límite de puntos.

Question

Probar que si $S$ es un conjunto finito, a continuación, $S$ no tiene límite de puntos.

Alguien me puede decir si mi planteamiento es correcto:

Prueba: Supongamos $S$ es un conjunto finito, entonces podemos escribir $S = \{a_1, a_2, \ldots, a_n\}$ $a_i \neq a_j$ si $i \neq j$. Supongamos que al contrario que $S$ tiene un punto límite $x_0$. Entonces, por definición dada en cualquier $\varepsilon > 0$ existe $x \in S$ $x \neq x_0$ tal que $\vert x - x_0 \vert < \varepsilon$. Elija $\varepsilon$ a ser la distancia más pequeña entre dos $a_i, a_j \in S$$i \neq j$. Podemos ver de inmediato que no es $x \in S$ tal que $\vert x - x_0 \vert < \varepsilon$ mantiene, una contradicción. Por lo tanto podemos concluir que el $S$ no tiene límite de puntos.

Answer 1

(Usted realmente debe especificar que $S\subseteq\Bbb R$; la declaración no es verdadera en espacios topológicos en general).

Su argumento es incompleto: se muestra que no hay punto de $S$ puede ser un punto límite de $S$, pero no muestra que el $S$ no tiene límite de puntos en $\Bbb R$. Supongamos, por ejemplo, que el$S=\{0,2\}$$x_0=1$. Entonces su $\epsilon=2$, y no es cierto que no es $x\in S$ tal que $|x-x_0|<2$; de hecho, $|x-x_0|<2$ por tanto $x\in S$.

Su argumento está bien si $x_0\in S$. Si $x_0\notin S$, vamos a $\epsilon=\min\{|x_0-a|:a\in S\}$. Las distancias $|x_0-a|$ son todas positivas, y hay sólo un número finito de ellos, por lo $\epsilon>0$, y es evidente que no es el $x\in S$ tal que $|x-x_0|<\epsilon$.

Answer 2

Vuelva a comprobar la definición de un punto límite. Un punto límite para $S$ sí no necesariamente tiene que ser en $S$. Que debe conducir a la respuesta correcta.

Answer 3

Si $S=\{a_1,a_2\}\subseteq\mathbb{R}$, e $x$ se encuentra a medio camino entre el$a_1$$a_2$, entonces su $\epsilon$ no funcionará.

Aquí es lo que funciona: Vamos a $\epsilon$ ser el número más pequeño en $\{|x-a_i|:i=1,\ldots,n,\,a_i\neq x\}$.