¿Cuántas normas de buen comportamiento hay en $C[0,1]$ ?

Question

Dejemos que $\Vert \cdot \Vert$ una norma sobre $X=C([0,1])$ s.t.

1 . $X$ es completa con respecto a $\Vert \cdot \Vert$ ;

2 . la convergencia en $\Vert \cdot \Vert$ implica la convegencia puntual, es decir $$ \Vert x_n - x \Vert \to 0 \Rightarrow \forall t \in [0,1], \quad x_n(t) \to x(t). $$

Es $\Vert \cdot \Vert$ equivalente a la habitual $\sup$ -normas, $\Vert \cdot \Vert_{\infty}$ ?

Mediante una cartografía abierta y 1 (completitud), sólo necesitamos demostrar una desigualdad de las dos que necesitamos para demostrar la equivalencia (de hecho, la otra se seguiría por mapeo abierto).

De todos modos, creo que la respuesta es afirmativa; ¿tengo razón? No sé cómo demostrarlo. ¿Alguna idea, por favor? Gracias.

Answer 1

La hipótesis implica que para todo $t\in I=[0,1]$ el funcional lineal $\mathrm{ev}_t:X\to\Bbb R, ~f\mapsto f(t)$ es continua. Además, para cualquier $f\in X$ , $$\sup_{t\in I}~|\mathrm{ev}_t(f)|=||f||_{\infty}<+\infty$$ Desde $X$ es un espacio de Banach, se aplica el principio de acotación uniforme, y $$ C=\sup_{t\in I}~||\mathrm{ev}_t||_{X'}<+\infty$$ es decir, para cualquier función continua $f$ y cualquier $t\in I$ , $|f(t)|\leq C||f||_X$ así $$||\cdot||_{\infty}\leq C||\cdot||_X$$ Como has señalado, el teorema del mapa abierto nos dice entonces que ambas normas son equivalentes.