Cuál es la probabilidad de que un conejo ganó ' t caiga una mesa si lo pones en algún lugar y se mueve.

Question

Si le pones un conejo al azar sobre una mesa circular con medidor de radio $r= 1$ y se mueve $1$ metros en una dirección al azar, ¿cuál es la posibilidad de que no caiga?

He intentado hacerlo usando integrales, pero luego me di cuenta necesitas un integral doble o algo y desde que estoy en la forma 5 no sé cómo funciona.

Answer 1

Si el conejo se coloca a distancia $x>0$ del centro y se mueve directo en una dirección uniformemente distribuida, sus posibilidades de no caerse son $$p(x)={2\arccos{x\over2}\over 2\pi}\ .$ $ suponiendo que punto de su partida se distribuye uniformemente con respecto a la zona por lo tanto otorga el % de probabilidad $P$que no se caiga de $$P={1\over\pi}\int_0^1 p(x)\cdot 2\pi x\>dx={2\over\pi}\int_0^1\arccos{x\over2}\>x\>dx\ .$$ Substituting $x:=2\cos t$ e integración parcial entonces producir $$P={2\over3}-{\sqrt{3}\over 2\pi}\doteq0.391\ .$ $

Answer 2

Sugerencia: este problema es angularmente simétrica. Por lo tanto, sólo el de iniciar la distancia desde el centro de asuntos.

Considere la posibilidad de un disco de radio $1$ centrada en el origen. Para un conejo en $(x,0)$, por lo que los ángulos de no caer fuera de la mesa (hacer un poco de trigonometría)? Ahora, el uso de la simetría y de integrar.

Para evitar la doble integral, se puede integrar a lo largo de la positiva radio y multiplicar cada valor que se obtiene por $2\pi r$ (la circunferencia del círculo con radio). (Esta $2\pi r$ también sale de la integral doble porque es angularmente simétrica.)

Answer 3

Vamos a Roger Rabbit lugar en la mesa circular ser definido por el punto de $(X,Y)$, donde las variables aleatorias $X$ $Y$ tiene un bivariante distribución Uniforme en el interior del círculo unidad, con la articulación pdf $f(x,y)$:

Por simetría, podemos suponer, sin pérdida de generalidad, que el conejo salta decir 1m hacia el este (como Steve Jessop ha señalado más arriba). Entonces, la probabilidad de que a Roger Rabbit todavía en las tierras de la tabla es $P[(X+1)^2 + Y^2 \leq 1]$:

Todo hecho.

Notas

• El Prob utiliza la función de arriba es de la mathStatica paquete de Mathematica. Como la divulgación, debo añadir que yo soy uno de los autores.