"Commutativity" de integrales

Question

Que $\mu$ $\nu$ ser dos medidas en un espacio $X$. Supongamos que

$$ \int_X fd\mu \int_X gd\nu = \int_X fd\nu \int_X gd\mu$$

cualquier funciones integrables $f,g$. Me gustaría mostrar que esto implica que el $\mu = \lambda\nu$ $\lambda > 0$, pero no sé cómo. ¡Cualquier ayuda sería apreciada!

¡Gracias!

Answer 1

Mediante el establecimiento $f=1_A, g=1_B$$\mu A \, \nu B = \mu B \, \nu A$.

Por lo tanto, si existe un conjunto $B$ que satisface $0 < \nu(B) < \infty$, entonces usted tiene $\mu A =\frac{\mu B}{\nu B} \nu A$.

Adenda: El resultado es cierto en general, no es que la generalización adicional es especialmente útil. Aquí está la prueba de todos modos.

Si existe un conjunto $B$ tal que cualquiera de las $0 < \mu B < \infty$ o $0 < \nu B < \infty$, luego el de arriba muestra la existencia de un adecuado y constante.

Si $\mu B = 0$ todos los $B$, entonces la constante de $\lambda =0$ va a hacer, por supuesto. Asimismo, para $\nu$.

Así, supongamos que a todos los $B$, $\mu B = 0 $ o $\mu B = \infty$, de manera similar $\nu B = 0 $ o $\nu B = \infty$, y ninguna de las $\mu$ ni $\nu$ son idénticas $0$.

Ahora supongamos $\mu A = 0$. A continuación, $\mu B \, \nu A = 0$ a todos los $B$. Ya hay al menos un $B$ tal que $\nu B \neq 0$,$\nu A = 0$. Asimismo, para $\nu$. Por lo tanto $\mu A = 0 $ fib $\nu A = 0$. Desde el otro único valor posible es $\infty$, tenemos que para todos los conjuntos de $A$, $\mu A = \nu A$, y la constante de $\lambda=1$ va a hacer.