L'Hôpital en varias variables

Question

Me pregunto si hay un análogo multidimensional de la regla de l'Hôpital para las funciones de varias variables.

He buscado en Internet durante un tiempo y he encontrado personas que discuten ambos lados. Uno dijo que era posible reemplazar la derivada con la derivada direccional, pero no lo entendí bien.

Answer 1

Un ingrediente esencial en la demostración de la regla de L'Hôpital es el teorema de Rolle para funciones diferenciables $f:{\mathbb R}\to{\mathbb R}$ que garantiza la existencia de un $\tau\in\ ]a,b[\ $ con $f'(\tau)=0$ si $f(a)=f(b)=0$ . En consecuencia, esta regla no es aplicable ni siquiera para funciones complejas de una variable real, y mucho menos para funciones de varias variables.

Consideremos a este respecto el siguiente ejemplo (se puede encontrar un ejemplo similar en "Principios del análisis matemático" de Rudin): Sea $$f(t):=t\ ,\quad g(t):=te^{-i/t}\qquad(t>0)\ .$$ Entonces uno tiene $\lim_{t\to0+}f(t)=\lim_{t\to0+}g(t)=0$ por lo que la regla de L'Hôpital sería requerida. Se calcula $f'(t)\equiv1$ , $g'(t)=\bigl(1+{i\over t}\bigr)e^{-i/t}$ . Desde $\bigl|e^{-i/t}\bigr|=1$ Por lo tanto, tenemos $$\lim_{t\to0+}{f'(t)\over g'(t)}=\lim_{t\to 0+}{t\over t+i}\ e^{-i/t}=0\ .$$ Así que la regla de L'Hôpital nos diría que $$\lim_{t\to0+}{f(t)\over g(t)}=0\ ;$$ pero en realidad este límite no existe, ya que $t\mapsto f(t)/g(t)=e^{i/t}$ da una vuelta al círculo unitario un número infinito de veces cuando $t\to0+$ .

Answer 2

A continuación, algunas referencias. Las publiqué anteriormente en diciembre de 2005 (URLs justo debajo), pero como no me he mantenido al día con este tema, es posible que se haya publicado algo relevante desde 2005.

http://groups.google.com/group/alt.math.undergrad/msg/eb8efd19eebab8f0

http://mathforum.org/kb/message.jspa?messageID=4143759

[1] Eugen Dobrescu y Ioan Siclovan, Consideraciones sobre las funciones de dos variables (rumano), Analele Universitatii Timisoara Seria Stiinte Matematica-Fizica 3 (1965), 109-121. [MR 34 #5998; Zbl 166.31502]

[2] A. I. Fine y S. Kass, Formas indeterminadas para funciones multiplaza Annales Polonici Mathematici 18 (1966), 59-64. [MR 32 #7680; Zbl 137.03603]

[3] Ira Rosenholtz, Teorema del valor medio topológico para el plano American Mathematical Monthly 98 (1991), 149-154. [MR 91m:26014; Zbl 741.26003]

[4] Tadeusz Wazewski, Una generalización de las teorías sobre incrementos finitos en el caso de los espacios abstractos. Aplicaciones , Bull. Int. Acad. Polon. Sci. Lett., Cl. Sci. Math. A 1949, 183-185. [MR 12,508a; Zbl 41.23301]

[5] Tadeusz Wazewski, Una generalización de los teoremas sobre incrementos finitos en el caso de los espacios de Banach y aplicación a la generalización del teorema de Hospital , Ann. Soc. Polon. de Math. 24 (1951), 132-147. [MR 15.717g; Zbl 52.11302]

[6] Tadeusz Wazewski, Una modificación debida al Teorema de Hospital relacionada con el problema de la extensión de las integrales de las ecuaciones diferenciales. Annales Polonici Mathematici 1 (1954), 1-12. [MR 16,118e; Zbl 56.11402]

[7] William H. Young, Sobre las formas indeterminadas , Proceedings of the London Mathematical Society (2) 8 (1910), 40-76. [JFM 40.0334.01]

de la página 71 del documento de Young: "Pasamos ahora a una o dos generalizaciones a más de una variable. Se ha supuesto comúnmente, pero erróneamente, que tales generalizaciones no existían".

Answer 3

Lo responsable es señalar que aquí no hay nada realmente útil.

¡¡La he cagado!!

En primer lugar, dejemos que $f(x,y) = x + y + x^2 + y^2 + x^3,$ mientras que $g(x,y) = x + y + x^2 + y^2.$ Hay límites direccionales (1) a lo largo de cada línea que se aproxima al origen, y todos ellos coinciden. Sin embargo, a lo largo de la curva parametrizada $$ x = \frac{-1}{2} + \frac{\cos t}{\sqrt 2}, \; \; y = \frac{-1}{2} + \frac{\sin t}{\sqrt 2},$$ como $t$ se acerca a $\frac{\pi}{4}$ nos acercamos al origen. Uno puede confirmar que, a lo largo de esta curva, $g$ es siempre 0, mientras que $f$ es distinto de cero, excepto en el propio origen. Por lo tanto, la relación ni siquiera está definida, y no hay límite.

En el futuro prometo no escribir cosas como teoremas si las he inventado.

Suspiro.