Límite integral de $\sin(x/n)f(x)$

Question

Para cualquier $f\in L^1[0,\pi]$, evaluar

$n\to \infty \int^\pi_0 n$pecado $(x/n)f(x)dx$

Mi idea es, $n$pecado $(x/n)f(x)\to xf(x)$ y parece que está aumentando la secuencia. No soy capaz de demostrar que va en aumento. Lo siguiente si se aumentar cómo podríamos aplicar el teorema de convergencia monótona a menos que f es positivo.

Idea próxima, traté de sustitución, que $x/n$ $t$ pero me sale $f(tn)$ después de la substitución. Entonces se detuvo allí. Tienes alguna idea específica para esto...

Answer 1

Como se escribe correctamente, $n\sin(x/n) \to x$, pointwise. Ahora teniendo en cuenta que $\sin x \le x$ $[0,\pi]$, tenemos $n\sin(x/n) \le n \cdot x/n = x$. $\pi|f|$ Es integrable y majorizes $f(x)\sin(x/n)n$ $[0,\pi]$, tenemos $$ \int_0^\pi n\sin(n^{-1}x)f(x) \,dx \to \int_0^\pi xf(x)\, dx $ $ por convergencia dominada.