¿Para qué valores de $k$ $(1+x)^{500+k}(1-x)^{500-k}$ superar el $10^9$?

Question

Bastante simple pregunta, para qué valores de a $0\leq k \leq 500$ do tenemos $\max\{(1+x)^{500+k}(1-x)^{500-k}|x\in[0,1]\} \geq 10^9$ ?

Algunos trivial observaciones:

El problema es equivalente a encontrar el más pequeño $k$, de modo que $\max\{(1+x)^{500+k}(1-x)^{500-k}|x\in[0,1]\} < 10^9$

Claramente es igual a$(1-x^{1000-2k})(1+x)^{2k}$, por lo que debemos tener $(1+x)^{2k}\geq10^9$, ya que el $1+x\leq 2$ esto implica $2k\geq 30\implies k\geq 15$. Por supuesto, este es probablemente inútil.

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Edit: con el hecho de que el máximo se alcanza en$\frac{k}{500}$, se puede reformular como:

$(500+k)^{500+k}(500-k)^{500-k}>500^{1000}10^9$

El siguiente java problema se soluciona muy bien, en menos de un segundo.

    import java.math.*;
public class eulerbla {
    public static void main(String[] args) {
        BigInteger potdiez = new BigInteger ("1000000000");
        BigInteger quinmas = new BigInteger("500");
        BigInteger quinmen = new BigInteger("500");
        BigInteger num;
        BigInteger bound = quinmen.pow(1000);
        bound= bound.multiply(potdiez);
        for(int k=0;k<=500;k++){
            num = (quinmas.pow(500+k));
            num = num.multiply(quinmen.pow(500-k));
            if(num.compareTo(bound)>=0){
                System.out.println(k);
            }
            quinmas=quinmas.add(BigInteger.ONE);
            quinmen=quinmen.subtract(BigInteger.ONE);
        }

    }

}

Salida:102

Answer 1

Podemos calcular el punto crítico para la $(1+x)^{500+k}(1-x)^{500-k}$: $x=\frac{k}{500}$. El valor en este punto es $$ \left(1-\frac{k^2}{250000}\right)^{500}\left(\frac{500+k}{500-k}\right)^k $$ Para $k\lt500$, esta es una función creciente de $k$, los derivados de su registro es $\log\left(\frac{500+k}{500-k}\right)$, computación y valores muestra que para $102\le k\lt500$, $(1+x)^{500+k}(1-x)^{500-k}$ será mayor que la de $10^9$$x=\frac{k}{500}$.

Para $k\lt102$, $(1+x)^{500+k}(1-x)^{500-k}$ no exceder $10^9$$[0,1]$.

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Podemos aproximado $$ \overbrace{\left(1-\frac{k^2}{250000}\right)^{500}}^{\sim e^{-\frac{k^2}{500}}}\overbrace{\left(\frac{500+k}{500-k}\right)^k\vphantom{\left(\frac{k^2}{2}\right)^5}}^{\sim e^{2\frac{k^2}{500}}} \sim e^{\frac{k^2}{500}} $$ Si solucionamos $$ e^{\frac{k^2}{500}}=10^9 $$ tenemos $$ k=\sqrt{4500\log(10)}=101.792 $$

Answer 2

$\max\{(1+x)^{m+k}(1-x)^{m-k}|x\in[0,1]\} \geq 10^9 $

Set $m = 500$.

Vamos $a(x, k) = (1+x)^{m+k}(1-x)^{m-k} $.

$\frac{a(x, k+1)} {(x, k)} =\frac{(1+x)^{m+k+1}(1-x)^{m-k-1}}{(1+x)^{m+k}(1-x)^{m-k}} =\frac{1+x}{1-x} \gt 1 $ así $a(x, k)$ es creciente para todos los $k$.

Del mismo modo,

$\begin{array}\\ a'(x, k) &=(m+k)(1+x)^{m+k-1}(1-x)^{m-k}-(m-k)(1+x)^{m+k}(1-x)^{m-k-1}\\ &=(1+x)^{m+k-1}(1-x)^{m-k-1}((m+k)(1-x)-(m-k)(1+x))\\ &=(1+x)^{m+k-1}(1-x)^{m-k-1}((m+k)-(m-k)-x((m+k)+(m-k))\\ &=(1+x)^{m+k-1}(1-x)^{m-k-1}(2k-2mx)\\ &=0 \qquad\text{for }x = k/m\\ \end{array} $

Por lo tanto, fijo $k$, $a(x, k)$ es, como máximo, para $x = k/m$. En esta $x$,

$\begin{array}\\ b(k, m) &=a(k/m, k)\\ &=(1+k/m)^{m+k}(1-k/m)^{m-k}\\ &=\frac{(m+k)^{m+k}(m-k)^{m-k}}{m^{2m}}\\ \end{array} $

Si $k = cm$, $0 < c < 1$,

$\begin{array}\\ b(cm, m) &=(1+c)^{m(1+c)}(1-c)^{m(1-c)}\\ &=\left((1+c)^{(1+c)}(1-c)^{(1-c)}\right)^m\\ \end{array} $

Para encontrar donde $b(cm, m) = 10^9$, al $m = 500$, queremos $g(c) =10^{9/500} \aprox 1.042 $.

De acuerdo a Wolfy, esto es acerca de la $c=0.203$. Esto corresponde a $k = cm =0.203\cdot 500 \aprox 101.5 $.

Esto concuerda bastante bien con su cálculo.