Prueba intuicionista de $\neg\neg(\neg\neg P \rightarrow P)$

Question

¿Cómo probar $\neg\neg(\neg\neg P \rightarrow P)$ en la lógica intuicionista?

Sé que esta declaración sea intuitionistically demostrable debido a Teorema de Glivenko. Sin embargo, me gustaría demostrar que intuitionistically.

Los axiomas correspondientes llego a utilizar son: (1) $\neg P = P\rightarrow\bot$ y (2) $\bot \rightarrow P$.

Answer 1

La primera cosa a notar es que $$(\lnot(\lnot\lnot P \to P)) \to \lnot P\qquad(\star)$$ Indeed, suppose $\lnot(\lnot\lnot P \P)$ and $P$ ; we want to show $\bot$.

Por modus ponens, es suficiente para demostrar $\lnot\lnot P \to P$, pero como se supone $P$, la implicación es claramente cierto.

Ahora, para el principal resultado, supongamos $\lnot(\lnot\lnot P \to P)$ ; usted desea mostrar a $\bot$. Por modus ponens, es suficiente para mostrar $\lnot\lnot P \to P$. Supongamos ahora $\lnot\lnot P$. Por $(\star)$, también ha $\lnot P$, y sabes que $\lnot\lnot P \land \lnot P \to \bot$. Por lo tanto usted tiene $\bot$, lo $P$, y el resultado queda demostrado.

Edit : Esta prueba es, en algunos puntos, similar a la prueba de $\lnot\lnot(P\lor\lnot P)$, delightly explica por Phil Wadler en la sección 4 de http://homepages.inf.ed.ac.uk/wadler/papers/dual/dual.pdf