Cómo probar este límite es $0$ ?

Question

Dejemos que $f:[0,\infty )\rightarrow \mathbb{R}$ sea una función continua tal que

1. $\forall x\ge 0\:,\:f\left(x\right)\ne 0$ .
2. $\lim _{x\to \infty }f\left(x\right)=L\:\in \mathbb{R}$ .
3. $\forall \epsilon >0\:\exists x_0\in [0,\infty)$ que $0<f\left(x_0\right)<\epsilon $ .

Pruébalo: $$L=0$$
Hasta ahora, pensé en asumir que $L\ne 0$ para obtener una contradicción.
Supongamos que $f\left(0\right)<0$ . Ahora, elija un $\epsilon $ > $0$ y sabemos que $\exists x_0>0$ tal que $0<f\left(x_0\right)<\epsilon$ .
$f$ es continua, por lo que desde el Teorema del valor intermedio, $\exists c\in \left[0,x_0\right]: \space f\left(c\right)=0$ y es una contradicción con (1). Por lo tanto, $f\left(0\right)\ge 0$ . (En realidad, creo que significa que $\forall c\in \left[0,\infty \right): \space f\left(c\right)\ge 0$ y contradice que $L<0$ ).

Me quedo atascado mientras pruebo el caso cuando $L>0$ . ¿Puede alguien orientarme? Gracias de antemano.

Answer 1

Tenga en cuenta que $f(x) \neq 0$ para todos $x \geq 0$ muestra que $f(x)$ debe mantener un signo constante (si cambia de signo entonces por la propiedad del valor intermedio debe desaparecer) para $x \geq 0$ . También la existencia de $x_{0}$ con $f(x_{0}) > 0$ nos dice que $f(x)$ es positivo para $x \geq 0$ .

A continuación se nos da que $\lim_{x \to \infty}f(x) = L$ existe. Dado que $f(x) > 0$ debemos tener $L \geq 0$ . Demostraremos que $L > 0$ lleva a una contradicción. Por la existencia del límite $L = \lim_{x \to \infty}f(x)$ se deduce que para cualquier $\epsilon > 0$ hay un número $N > 0$ tal que $$L - \epsilon < f(x) < L + \epsilon$$ para $x > N$ . Elección de $\epsilon = L/2 > 0$ vemos que lo anterior implica que $f(x) > L / 2$ para $x > N$ . Considere la función $f(x)$ en el intervalo $[0, N]$ . Claramente $f(x)$ es positivo en este intervalo y, por tanto, su valor mínimo en este intervalo cerrado también es positivo. Sea este valor mínimo de $f(x)$ se denota por $m$ . Por lo tanto, $f(x) \geq m$ para $x \in [0, N]$ . Y $f(x) > L / 2$ para $x > N$ . De ello se desprende que $$f(x) \geq \min(m, L/2) = K (\text{say})$$ para todos $x \geq 0$ . Ahora podemos ver que la condición (3) de la pregunta se viola si elegimos un $\epsilon$ con $0 < \epsilon < K$ . Por lo tanto, se deduce que $L$ debe ser $0$ .

Answer 2

En primer lugar, hay que tener en cuenta que $f(x) >0$ para todos $x$ . Esto se deduce de 3. y del hecho de que $f$ es continua (y por tanto $f([0,\infty))$ está conectado). De ello se deduce que $L \ge 0$ .

Dejemos que $\alpha(x) = \min_{t \in [0,x]} f(t)$ . Desde $[0,x]$ es compacto, vemos que $\alpha(x) >0$ para todos $x$ . La propiedad 3. muestra que $\lim_{x \to \infty} \alpha(x) = 0$ .

Si $L>0$ Entonces, habría algunos $m>0$ tal que $\alpha(x) \ge m$ para todos $x$ , una contradicción.

Answer 3

Dejemos que $\{\epsilon_i\}$ , ( $\epsilon_i>0$ , $i \in \mathbb{N}$ ) sea una secuencia tal que $\{\epsilon_i\} \rightarrow 0$ .

A partir de 3) , $\forall \epsilon_i$ tenemos una secuencia $\{x_i\}$ tal que $f(x_i)<\epsilon_i$ y una secuencia $\{f(x_i )\} \rightarrow 0$ .

Si existe $\bar x$ de manera que todos los $x_i$ están en $[0,\bar x]$ entonces, por la compacidad del intervalo, debemos tener $\{x_i\} \rightarrow x_0\in [0,\bar x]$ y de la continuidad de la función $f(x_0)=\lim \{f(x_i )\}=0$ . Eso contradice 1).

Así, para cualquier $\bar x$ existe $\bar n$ tal que $i>\bar n \Rightarrow x_i> \bar x$ y $f(x_i)<\epsilon$ y $\lim_{x\rightarrow \infty}f(x)=0$

Answer 4

1)Por la condición 3 podemos encontrar una secuencia $(x_n)$ tal que $\lim_{n\to\infty} f(x_n)=0$ .

2)La secuencia $(x_n)$ no puede estar acotado (porque si no, escogiendo una subsecuencia adecuada, usando 1. y la continuidad concluimos que $f(t)=0$ para algunos $t$ ) ,

3)Tomando una subsecuencia $x_m\to \infty$ como $m\to\infty$ Si es necesario, encontramos que $\lim_{m\to\infty} f(x_m)=0$ .así que $\lim_{x_m\to\infty} f(x_m)=0$ . Esto, junto con 3. implica $L=0$ .

Observación: necesitamos la condición 1. Consideremos $f(x) = 1-\frac{1}{1+x^2}$ satisface 2 y 3 pero no 1. ¡La conclusión no se deduce!