Demostrar la siguiente identidad trigonométrica sin una calculadora involucrados

Question

Tengo que probar lo siguiente.

$$1+\cos{2\pi\over5}+\cos{4\pi\over5}+\cos{6\pi\over5}+\cos{8\pi\over5}=0$$

Han tratado de utilizar la suma de la fórmula de la ángulo de coseno, pero no llegar a un punto donde poder demostrar que es igual a $0$.

Answer 1

Que $O = (0,0)$ y $A_i = (\cos 2\pi i/5,\sin 2\pi i/5)$. Entonces $A_0A_1A_2A_3A_4$ es un Pentágono regular con vértices en el círculo unitario. La suma que has escrito es la $x$-coordenada del vector $u = \overrightarrow{OA_0} + \dots \overrightarrow{OA_4}$. Si se aplica una rotación en ángulo $O$ $2\pi/5$, el Pentágono permanece invariante. Por lo tanto $u$ no cambia cuando se gira este ángulo. Muestra que el $u = 0$.

Answer 2

Con complejo exponencial: $$ 1 + e ^ {\frac {2\pi me} {5}} + e ^ {\frac {4\pi me} {5}} + e ^ {\frac {6\pi i} {5}} + e ^ {\frac {8\pi me} {5}} = \frac{(e^{\frac{2\pi i}{5}}) ^ 5 -1} {e ^ {\frac {2\pi yo} {5}} -1} = 0 $$ y su parte real es $0$.

Answer 3

Tenga en cuenta que $e^{2i\pi/5}=\omega_5$ es la raíz Quinta de la unidad. Ahora $$\omega_5+\omega_5^2+\omega_5^3+\omega_5^4+\omega_5^5=x$ $ tan\begin{align} \omega_5x&=\omega_5(\omega_5+\omega_5^2+\omega_5^3+\omega_5^4+\omega_5^5)\\ &=\omega_5^2+\omega_5^3+\omega_5^4+\omega_5^5+\omega_5^6\\ &=\omega_5^2+\omega_5^3+\omega_5^4+\omega_5^5+\omega_5\\ &=x \end {Alinee el} así $\omega_5x=x$, y por lo que implica $x\neq 0$ $\omega_5=1$ que es falso. Así $x=0$. Ahora uso #% $ %#% ahora toma $$e^{i\theta}=\cos(\theta)+i\sin(\theta)$ $\theta=\frac{2k\pi}5$ a $k=1,2,3,4,5$. Lo que conseguimos:\begin{align} 0&=\Re(0)\\ &=\Re(\omega_5+\omega_5^2+\omega_5^3+\omega_5^4+\omega_5^5)\\ &=\Re(e^{2i\pi/5}+e^{4i\pi/5}+e^{6i\pi/5}+e^{8i\pi/5}+e^{10i\pi/5})\\ &=\cos(\frac{2\pi}5)+\cos(\frac{4\pi}5)+\cos(\frac{6\pi}5)+\cos(\frac{8\pi}5)+\cos(\frac{10\pi}5)\\ &=\cos(\frac{2\pi}5)+\cos(\frac{4\pi}5)+\cos(\frac{6\pi}5)+\cos(\frac{8\pi}5)+1 \end {Alinee el}

Answer 4

Vamos a intentar esta-

Usando el $2\cos a \sin b = \sin(a+b) - \sin(a- b)$, obtenemos:

$2\cos(2π/5)\sin(2π/5)=\sin(4π/5 )- \sin(0)$

$2\cos(4π/5)\sin(2π/5)=\sin(6π/5)-\sin(2π/5)$

$2\cos(6π/5)\sin(2π/5)=\sin(8π/5) - \sin(4π/5)$

$2\cos(8π/5)\sin(2π/5)=\sin(10π/5) -\sin(6π/5)$

$2\cos(10π/5)\sin(2π/5)=\sin(12π/5) - \sin(8π/5) $

Agregar:\begin{align} &2\sin(2π/5)\{\cos(10π/5)+\cos(2π/5)+\cos(4π/5)+\cos(6π/5)+\cos(8π/5)\}\\ &=2\sin(2π/5)\{1+\cos(2π/5)+\cos(4π/5)+\cos(6π/5)+\cos(8π/5)\} \\ &=\sin(12π/5) - \sin(2π/5)\\ &=2\sin(10π/5)\cos(14π/5)\\&=0\qquad [\;\because \sin a - \sin b = 2\sin(a-b)\cos(a+b)] \end {Alinee el}

$$ 1+\cos(2π/5)+\cos(4π/5) + \cos(6π/5) + \cos(8π/5) = 0$

Answer 5

Dibujar un Pentágono regular ABCDE con todos lados una unidad de tiempo. Tratar estos aspectos como vectores de la A B, entonces B a C, etc.. De la regla de la "cabeza a la cola" de resultantes el resultante de todos los vectores de cinco en el ciclo es cero.

Definir un eje "x" a lo largo de uno de los vectores de borde. Elaborar los componentes de los cinco vectores a lo largo de este eje. Agregar para arriba y coincide con el cero resultante identificado anteriormente.

Hecho. Y funciona para cualquier polígono regular.