¿Si $A$ tiene medida cero, entonces hay $x$ tal que $A \cap (A-x)=\emptyset$?

Question

¿Si $A\subseteq \mathbb{R}^d$ tiene Lebesgue medida cero, es siempre posible encontrar un $x$ tal que $A \cap (A-x)=\emptyset$?

Esta es una de esas cosas que parece razonable, pero estoy preocupado por patologías. Por ejemplo, si $A$ fueron un grupo, entonces el resultado es obvio. Se podría considerar el grupo generado por $A$, pero esto puede ser demasiado grande. Por ejemplo si $A$ es el estándar Cantor ubicado en $[0,1]$, entonces es el subgrupo generado por $A$ $\mathbb{R}$.

Answer 1

No, no siempre es posible. Sea $A$ la Unión de esferas concéntricas alrededor del origen, con radios racionales positivo (todos). Este contraejemplo trabaja en todas las dimensiones mayores de $1.$ $\mathbb{R},$ no estoy seguro si hay un contraejemplo (estoy adivinando sí, pero no verlo).

Answer 2

Deje $X$ ser un espacio métrico y supongamos $A,B$ son densos $G_\delta$ subconjuntos de a $X.$ $A\cap B \ne \emptyset.$ La prueba es simple: Supongamos $A\cap B = \emptyset,$ el polvo de las leyes de DeMorgan, y terminar con un Baire para llegar a una contradicción.

Ahora $\mathbb R^d$ es un espacio métrico completo, y tiene un montón denso $G_\delta$ subconjuntos de medida $0.$ Deje $A$ ser uno de estos. Debido a que la traducción es un homeomorphism de $\mathbb R^d$ sobre sí mismo, cada $A-x$ es también un denso $G_\delta$ subconjunto de $\mathbb R^d. $ Desde el primer párrafo llegamos a la conclusión de $A\cap (A-x) \ne \emptyset$ por cada $x\in \mathbb R^d.$