¿Cómo mostrar que $f$ es una función impar?

Question

Una función entera $f$ toma real $z$ real y puramente imaginario a puramente imaginario. Tenemos que mostrar que $f$ es una función impar. bueno, $f=\sum_{n=0}^{\infty}a_nz^n$ lo que puedo decir es $f(\mathbb{R})\subseteq\mathbb{R}$ y $f(\mathbb{iR})\subseteq\mathbb{iR}$

Cómo proceder, por favor, Dame toque.

Answer 1

Estoy escribiendo, ampliación y mejora (ojala...) Respuesta de Mex a su propia pregunta (¡felicitaciones!) y voy a ser feliz borrar esta respuesta mía si decide escribir su.

Tenemos que $$f(z)=\sum_{n=0}^\infty a_nz^n$$ because $\,f\,$ is entire, and by the given conditions we have$$(1)\,\,f(r)=\sum_{n=0}^\infty a_nr^n\in\mathbb{R}\,,\,\,\,r\in\mathbb{R}$$$$ (2) \,\,f (ir) = \sum_ {n = 0} ^ \infty a_n (ir) ^ n\in i\mathbb{R}\,\,,\,\,r\in\mathbb{R}$$but we have that $$\sum_{n=0}^\infty a_n(ir)^n=\sum_{n=0}^\infty i^n (a_nr^n)=\sum_{n=0}^\infty (-1)^na_{2n}r^{2n}+i\sum_{n=0}^\infty (-1)^na_{2n+1}r^{2n+1} $$and as the above is purely imaginary we get that $\,a_{2n}=0\,,\,\forall n\in\mathbb{N}\,$ , so the power series of the function has zero coefficients for the even powers of $\,z\,$ y es así una suma de potencias impares y trivial entonces una función impar.