Deje $(v_i)_{i∈ℕ}$ ser un vector de la secuencia. Decir $(v_i)$ es boundable (en $M$) si existe una secuencia $(b_i)_{i∈ℕ}$ tomando valores en $\{-1,1\}$ tal que $(|\sum^N_i b_iv_i|)_{N∈ℕ}$ es limitada (en $M$). Si $(v_i)$ toma valores en la unidad de la bola de $B^n⊆ℝ^n$, hace que se siga $(v_i)$ es boundable?
Con la definición formulada de forma análoga para las secuencias finitas, veo que puedo utilizar la (débil) Konig del lema para mostrar que un vector es la secuencia de boundable en $M$ si y sólo si todos sus finito a partir de las secuencias son boundable en $M$. Como tal, se sigue que, si cada vector de la secuencia es boundable, entonces hay un mínimo de tales $α_n$ de manera tal que cada vector de la secuencia es boundable en $α_n$ (por ejemplo, $α_1=1$). Basado en algunos estudios aleatorios cálculos de la mina parece que la hipótesis se sostiene para $n=2$$1.6≤α_2≤1.7$, sin embargo no estoy seguro de cómo continuar.
Edit: parece realmente que si la hipótesis es verdadera, entonces el $α_2 ≥ \sqrt{3}$. Este diagrama indica cómo construir una secuencia finita unboundable en $r$ al $r < \sqrt{3}$: Comience con el vector resultante $w_1$ inicial ( $v_1=(1,0)$ ) de magnitud $1$ o mayor; elija el siguiente vector de $w_2$ tal que $|w_1+w_2| > r$ sin embargo, el ángulo entre el $w_1,w_2$ es de menos de $2π/3$. A continuación, $|w_1-w_2| > |w_1|$ y podemos repetir el proceso con el vector resultante $w_1-w_2$ a, al menos constantemente efecto mayor cada vez. (Nota: el espejo de la situación de $b_1=-1$ es atendido por simetría).
