Prueba $0$ es un ordinal

Question

En Introducción a la Teoría de conjuntos por J. Donald Monje, que él define ordinal de la siguiente manera.

La definición (1): $A$ es un ordinal iff $A$ $\in$- transitivo y cada uno de los miembros de $A$ $\in$- transitiva. $A$ $\in$- transitiva si para todos los $x$ y $y$ , $x \in y \in A \implies x \in A$.

Y usando la definición (1), tengo un problema de muestra $0$ es un ordinal.

Mi solución: Vamos a $x \in y \in 0$, a continuación muestran que la $x \in 0$, pero en el teorema de la muestra antes de esto, no puede existir una $x \in 0$ cualquier $x$, para los si $x \in 0$, $x$ es un conjunto y $x \neq x$, lo cual es absurdo. Por lo tanto no puede ser una $x$ tal que $x\in 0$ .Pero si este es el caso, no podemos demostrado el teorema anterior, por definición. Alguna idea?

gracias por tu ayuda.

Edit: en un principio tengo 2 pregunta. Pero más tarde, he encontrado la respuesta a mi primera pregunta. Es por eso que he eliminado y la pregunta del post anterior es mi segunda pregunta.

Answer 1

Seoral: Una declaración de la forma "para todos los $x\in A$ bla" literalmente significa "para todos los $x$, si es el caso de que $x\in A$, bla".

Ahora: Como usted ha mencionado, $y\in 0$ es falso para cualquier $y$. Tenemos que mostrar que si $x\in y\in 0$$x\in 0$. Más precisamente, esto significa: Para todos los $x$ $y$ si $y\in 0$$x\in y$,$x\in 0$. Desde $y\in 0$ es falso, debemos demostrar que para todos los $x$$y$, (falso y $x\in y$) implica $x\in 0$. Recordar que la "falsa y blah" es falso, así que esto es sólo: Para todos los $x$$y$, falso implica $x\in 0$.

Pero falsa implica cualquier cosa! (Más precisamente, las declaraciones de $p\to q$ son verdaderas siempre que $p$ es falso. Ellos también son verdaderos cuando se $q$ es cierto, pero eso no importa aquí). Así, tenemos "para todos los $x$$y$, verdadero", que es el mismo como "verdadero". I. e., has demostrado ser lo que usted necesita.

Uno no suele expresar situaciones como la anterior, de esta manera; en su lugar, la gente habla de las declaraciones de ser "vacuously verdadero", como señaló en un comentario anterior.

Hagamos un repaso: 0 es transitiva, ya que cualquier elemento de 0 es un subconjunto. (Precisamente, porque no hay elementos de 0.)

Del mismo modo, cualquier elemento de 0 es transitiva. De nuevo, debido a que no existen elementos de 0.

Esto es algo extraño la primera vez que uno la encuentra, ya que es también el caso de que cualquier elemento de 0 no puede ser transitivo (y que cualquier elemento de 0 es azul, etc).