La prueba que cada decimal de repetición es racional

Question

Wikipedia afirma que cada decimal de repetición representa un número racional.

Según la definición siguiente, ¿cómo podemos demostrar este hecho?

Definición: Un número es racional si se puede escribir como $\frac{p}{q}$, donde $p$ y $q$ son números enteros y $q \neq 0$.

Answer 1

Supongamos que el decimal es $x=a.d_1d_2\ldots d_m\overline{d_{m+1}\dots d_{m+p}}$, donde el $d_k$ son dígitos, $a$ es la parte entera del número, y el vinculum (overline) indica la parte que se repite de la coma decimal. Entonces

$$10^mx=10^ma+d_1d_2\dots d_m.\overline{d_{m+1}\dots d_{m+p}}\;,\tag{1}$$ y

$$10^{m+p}x=10^{m+p}a+d_1d_2\dots d_md_{m+1}\dots d_{m+p}.\overline{d_{m+1}\dots d_{m+p}}\tag{2}\;.$$

Restar $(1)$$(2)$:

$$10^{m+p}x-10^mx=(10^{m+p}a+d_1d_2\dots d_md_{m+1}\dots d_{m+p})-(10^ma+d_1d_2\dots d_m)\;.\tag{3}$$

En la parte derecha de $(3)$ es la diferencia de dos números enteros, por lo que es un número entero; llamarlo $N$. La del lado izquierdo es $\left(10^{m+p}-10^m\right)x$, por lo que

$$x=\frac{N}{10^{m+p}-10^m}=\frac{N}{10^m(10^p-1)}\;,$$

cociente de dos números enteros.

Ejemplo: $x=2.34\overline{567}$. A continuación,$100x=234.\overline{567}$$100000x=234567.\overline{567}$, por lo que

$$99900x=1000000x-100x=234567-234=234333\;,$$ y

$$x=\frac{234333}{99900}=\frac{26037}{11100}\;.$$

Answer 2

Que $q= 0.\overline{d_1d_2...d_k}$ sea un decimal de repetición con patrón % longitud $R = d_1d_2...d_k$ $k$.

Entonces tenemos: $$q=\sum_{n=1}^{\infty}{R\cdot 10^{-kn}}=R\left(\frac{1}{1-10^{-k}}-1\right)=\frac{R}{10^k-1}$ $

Answer 3

No rigurosas pruebas sería el siguiente. Supongamos que

$$x=x_0,\overline{x_1x_2x_3\dots x_n}$$

Entonces

$$10^nx=x=x_0x_1x_2x_3\dots x_n,\overline{x_1x_2x_3\dots x_n}$$

por lo $$10^nx-x=x_0x_1x_2x_3\dots x_n-x_0$$

y

$$x=\frac{x_0x_1x_2x_3\dots x_n-x_0}{10^n-1}$$

donde $x_n\in\{0,1,\dots,9\}$

Ejemplo sencillo:

$$x=1,234234234\dots$$

entonces

$$10^3 x=1234,234234\dots$$

así

$$(10^3-1)x=1234-1$$

$$x=\frac{1233}{999}$$

Si desea obtener más riguroso, puede utilizar la expansión de la serie de un número, pero, con todo, la prueba de la esencia no difieren mucho.

AÑADIR En el caso más general

$$x=x_0,y_1y_2y_3\dots y_n\overline{x_1x_2x_3\dots x_n}$$

nota

$$x=x_0,0\dots 0\overline{x_1x_2x_3\dots x_n}+0,y_1y_2y_3\dots y_n$$ y considerar

$$x'=x_0,0\dots 0\overline{x_1x_2x_3\dots x_n}$$ The shifting is then of $10^{m+n}$, y se obtiene de la suma de dos números racionales, que es racional.

Answer 4

% Toque $\ $tenga en cuenta lo que significa un % real $\rm\ 0\: < \: \alpha\: < 1\ $tienen una expansión decimal periódica:

$\rm\qquad\qquad\qquad\quad\ \ \ \, \alpha\ =\ 0\:.a\:\overline{c}\ =\ 0\:.a_1a_2\cdots a_n\:\overline{c_1c_2\cdots c_k}\ \ $ $\rm\:10\:$ de la raíz

$\rm\qquad\qquad\iff\quad \beta\ :=\ 10^n\: \alpha - a\ =\ 0\:.\overline{c_1c_2\cdots c_k}$

$\rm\qquad\qquad\iff\quad 10^k\: \beta\ =\ c + \beta$

$\rm\qquad\qquad\iff\quad (10^k-1)\ \beta\ =\ c$

$\rm\qquad\qquad\iff\quad (10^k-1)\ 10^n\: \alpha\ \in\ \mathbb Z$

Answer 5

Supongamos que el período es de n, así que los decimales va, $a_1a_2\ldots a_n$ y repiten. Que $x$ denotan el número. Multiplicar el $x$ $10^n$. Restar el $x$. Entonces $ $$(10^n -1)x = a_1a_2\ldots a_n.$$ So $x$ is the cyclic divided by $9999\ldots 9. Por ejemplo, $x= 0.142857142857\ldots$. Entonces $x = 142857/999999=1/7$ cuando se reduce.