Primero de todo, uno no debería distinguir demasiado entre los términos de $L$-series y $\zeta$-función; es más o menos una cuestión de historia que término se utiliza en un contexto dado.
La verdadera distinción entre los objetos de la "motivic" (ecuación Diophantine o la teoría algebraica de números), y los objetos en la "automorphic".
Así, Artin $L$-funciones, y $\zeta$-funciones y $L$-funciones de variedades, están en el motivic lado. Ellos no tienen evidentes analítica continuaciones o las ecuaciones funcionales.
Dirichlet $L$-funciones (es decir, los que se construye fuera de los personajes de la multiplicativo grupo de mod $N$ algunos $N$), Hecke $L$-funciones (construido
de los ideales de la clase de caracteres), $L$-funciones de las formas modulares, o más generalmente automorphic formas, son automorphic $L$-funciones. Excepto para el
en la última (general automorphic $L$-funciones) estos pueden ser demostrado tener la continuación analítica con las ecuaciones funcionales. El límite natural de estos continuación analítica/funcional de la ecuación (argumentos que comienzan con Riemann, con Tate tesis otro punto importante en la ruta) es el hecho de que el estándar de $L$-funciones para automorphic formas en $GL_n$ tiene de continuación analítica/las ecuaciones funcionales.
Langlands del functoriality conjetura , en particular, de las conjeturas que cualquier (a priori más general) automorphic $L$-la función es en realidad un estándar $L$-función. Muchos de los casos especiales son conocidos (y Ong consiguió la medalla Fields para demostrar el lema fundamental, que es una herramienta en demostrar ciertos casos, es decir, aquellos derivados de la endoscopia), pero es muy abierta en general.
La reciprocidad conjetura , a continuación, establece que cualquiera de las motivic $L$-funciones también son de tipo estándar $L$-funciones. (E. g. para $L$-funciones de curvas elípticas sobre $\mathbb Q$, esto se convierte en la afirmación de que cualquier curva elíptica está asociada a un peso de 2 de forma modular, lo que fue demostrado por Wiles et. al.) Este es también abiertos en general.
El caso especial de Artin $L$-funciones, y algunos otros casos especiales, en realidad, son cubiertos por ambas conjeturas. (Esto es debido a que, si usted ampliar su perspectiva suficientemente, como Langlands hizo, permitiendo arbitraria reductora algebraica de los grupos en la imagen, luego Artin $L$-funciones pueden considerarse como
un tipo particular de automorphic $L$-funciones. Esto no es tan fácil de ver cuando usted apenas está entrando en el tema, pero uno puede pensar de la de Riemann $\zeta$función: este es sin duda motivic, siendo el $\zeta$-función de la
variedad de Especificaciones de $\mathbb Q$, pero también es automorphic, siendo la de Dirichlet $L$-función para el carácter trivial.)
Pero en general, las conjeturas tienen una ligeramente diferente naturaleza: functoriality puede ser pensado (si quieres) en términos puramente de análisis armónico en adelic grupos, mientras que por su propia naturaleza, la reciprocidad implica aritmética geometría. En la práctica, al menos por el momento, los dos parecen ser bastante entrelazados. Functoriality sin duda es una herramienta que puede ser muy útil en la demostración de la reciprocidad; además, de los casos de la conjetura de Artin que son conocidos, algunos se demostró el uso de la functoriality punto de vista (por ejemplo, Langlands--Tunnell) y algunos de uso de la reciprocidad punto de vista (por ejemplo, Ratonero--Dickinson--Shepherd-Barron--Taylor).
