Si un ideal máximo $\mathfrak m$ es plana, entonces $\dim_k (\mathfrak m/\mathfrak m^2) \leq 1$

Question

Este es un ejercicio que me molesta mucho:

Dejemos que $R$ sea un anillo conmutativo con $1$ . Dejemos que $\mathfrak{m}$ sea un ideal máximo en $R$ . Si $\mathfrak m$ es plana como un $R$ -entonces la dimensión del espacio vectorial $\dim_k(\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2) \leq 1$ (donde $k= R/\mathfrak{m}$ ).

He intentado trabajar con el doble espacio de $\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2$ y con la identidad $\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2 = R/\mathfrak{m} \otimes_R \mathfrak{m}$ . He tratado de mostrar que para $\dim_k(\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2) > 1$ es $0= Hom_R(\mathfrak{m}, R/\mathfrak{m}) \cong \mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2$ . Lo que sería una contradicción. Sin embargo, ni siquiera estoy seguro de que esto sea cierto.

Además, hasta ahora creo que he conseguido una solución para la generación finita $\mathfrak{m}$ . Sin embargo, no me hace muy feliz: después de localizar en $\mathfrak{m}$ podemos suponer que $(R, \mathfrak{m})$ es local. Para los módulos generados finitamente sobre anillos locales se mantiene plana $\Rightarrow$ libre (Matsumura) y luego el $\mathfrak{m}$ es un programa gratuito $R$ -módulo de dimensión $1$ Por lo tanto, también $\dim_k(\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2) \leq 1$ . Sin embargo: esto sólo funciona para los casos de generación finita $\mathfrak{m}$ y también no hemos tenido el Teorema de Matsumura en la conferencia hasta ahora.

Mi pregunta es: ¿hay alguna idea de cómo hacer esto? Ni siquiera estoy buscando una solución completa, tristemente me he quedado sin ideas creativas. (Tenga en cuenta que no hemos introducido TOR en nuestra conferencia todavía)

Answer 1

Si $(A,m)$ es un anillo local y $M$ es un piso $A$ -entonces cualquier familia de elementos $x_1,\dots,x_n\in M$ de manera que sus imágenes en $M/mM$ son linealmente independientes sobre $A/m$ también es linealmente independiente sobre $A$ . (Matsumura, Teoría de anillos conmutativos (Teorema 7.10.)

Si $M$ es un ideal de $A$ , entonces no hay ningún par $x,y$ de elementos en $M$ linealmente independiente sobre $A$ ( $xy+y(-x)=0$ ), por lo que $\dim_{A/m}M/mM\le1$ .

Answer 2

Aquí se intuye, al menos, la afirmación:

Imagine por un momento que $R$ fuera en realidad un dominio local, y que $\mathfrak m$ fueron generados finitamente. Entonces, si $\mathfrak m$ es plana, es libre, y por lo tanto tiene un rango. Pero cuando extendemos los escalares al campo de la fracción $F$ de $R$ la inclusión $\mathfrak m \subset R$ se convierte en una igualdad, por lo que este rango libre debe ser uno. Así, $\mathfrak m/\mathfrak m^2$ sería entonces como máximo unidimensional.

(Sé que ya dijo que podía probar el resultado cuando $\mathfrak m$ es f.g. usando ese f.g. plano $\implies$ libre, así que tal vez esto sea inútil; pero es la imagen intuitiva que me vino a la mente cuando leí la pregunta, sobre la que trataría de basarme para demostrar el resultado general).