¿Generalización de la instrucción que $\mathbb{A}^2\setminus (0,0)$ no es afín?

Question

$\mathbb{A}^2\setminus (0,0)$ a menudo se da como un ejemplo de una variedad que no es afín. Estoy tratando de entender este ejemplo mejor verlo como un caso especial de un natural general de la reclamación.

Reclamo: Vamos a $X$ ser afín variedad, más de un algebraicamente cerrado campo de $k$ tal que $k[X]$ es un UFD. Deje $Y$ ser cualquier subconjunto cerrado de codimension al menos 2. A continuación, $X\setminus Y$ no es afín.

Es este el derecho general de reclamación?

Si es así, puede que me caiga el supuesto de que $k$ es algebraicamente cerrado, o es que necesita?

Answer 1

Creo que el derecho de la generalización de su ejemplo es el siguiente.

Deje $X$ integrante afín, Notherian normal, esquema, y $F$ a (EDIT: No-vacío-gracias Cantlog) subconjunto cerrado con $\text{codim}_X(F)\geqslant 2$. A continuación, $X-F$ no es afín a abrir subscheme.

De hecho, el uso de "Algebraica Hartog el Lema" uno puede mostrar que la inclusión $(X-F)\hookrightarrow X$ induce un isomorfismo $\mathcal{O}_X(X)\to\mathcal\to\mathcal{O}_{X}(X-F)$. Si $X-F$ fueron afín, esto estaría en contradicción con la equivalencia de categorías $\mathsf{Sch}^{\text{op}}\xrightarrow{\approx}\mathsf{Ring}$.