Resolver $3^a-5^b=2$ para los números enteros a y b.

Question

Por lo que tengo (a,b)=(1,0),(3,2) son soluciones para la eqations y tal vez el único.

Answer 1

Sabemos que $b$ es incluso (desde $2^b+2$ es divisible por 3). También sabemos que la única solución a $y^2+2=x^3$$y=5,x=3$. (La solución de la ecuación de diophantine $y^{2}=x^{3}-2$)

Por lo tanto es suficiente para mostrar que $a$ es divisible por 3. Supongamos que $a \geq 2$. Desde el 9 de divide $5^b+2$, obtenemos que $b=6k+2=3m+2$. Tenemos $25(125)^m+2=3^a$. Llegamos $3^a$ $27$ mod $31$ que obliga a $a$ $3$ mod $30$, en particular divisible por $3$.

Answer 2

Estas son las únicas soluciones modulo $$ 5 ^ 3 \cdot 601. $$ Si tuvieras una solución con $b \geq 3$ entonces requeriríamos que $a \equiv 43$ modulo $100$. Modulo $601$ (hay un montón de otras opciones), hay solamente opciones de #% de $12$% #%. $5^b$ De problemas para cada una de estas opciones nos dice que necesariamente $3^a \equiv 5^b+2 \mod{601}$ es congruente a $a$ o $0, 1$ modulo $3$, una contradicción.