Si $\int_0^xf(t)dt=[f(x)]^2$ $f(x)\neq 0$, ¿qué es $f(x)$?

Question

De los problemas más en Stewart Cálculo 6e, se pregunta si $f$ es una función derivable tal que $f(x)$ nunca $0$, y para cualquier $x$, $\int_0^xf(t)dt=[f(x)]^2$, entonces, ¿qué es $f(x)$?

Pensé ya que es diferenciable yo podría tomar la derivada de ambos lados para obtener:
$$f(x)=2f(x)f'(x)$$ Desde $f(x)$ nunca $0$,$f'(x)=1/2$. Pero eso significa que $f(x)=x/2+c$, lo cual equivale a $0$$x=-2c$. Yo simplemente no puede tomar $0$ fuera de la función, ya que tiene que ser diferenciable en todas partes. Entonces, ¿cómo puedo resolver este problema?

Answer 1

Observe que $f(x) > 0$ $x > 0$. Así $D_f = \{x: x > 0\}$. En $D_f$, tenemos: $f(x)(1-2f'(x)) = 0 \to f'(x) = \dfrac{1}{2} \to f(x) = \dfrac{x}{2} + C \to C = \displaystyle \lim_{x\to 0} f(x) = 0 \to f(x) = \dfrac{x}{2}$

Answer 2

Creo que han malinterpretado el problema. Creo que cuando dice $f(x) \neq 0$ significa que el $f(x)$ depende no el cero (es decir, no siempre es cero). De lo contrario parece que han solucionado el problema.

EDIT: acabo de leer tu comentario. Creo que tu libro tiene una errata o la respuesta correcta es "no hay solución". Cuando $x=0$ $0=f(0)^2$ así $f(0)=0$, por lo que no importa qué $f(x)$ $0$ en algún momento debe ser igual.