Formulación de los teoremas de Künneth (definición de $\mathrm{Hom}$ y $\otimes$ de complejos)

Question

En Rotman Introducción al álgebra homológica está escrito:

Preguntas: Sea $\mathbf{A}$ y $\mathbf{A'}$ sean complejos de cadenas con diferenciales $\partial$ y $\partial'$ respectivamente.

(1) ¿Cómo se $\mathrm{Hom}_R(\mathbf{A},\mathbf{A}')$ definido? ¿Se trata de un complejo en cadena o en co-cadena?

En esta entrada Supongo que la solución debe ser similar a: $$\mathrm{Hom}_R(\mathbf{A},\mathbf{A}'):=(\prod_{i-j=n} \mathrm{Hom}_R(A_i,A'_j))_{n\in\mathbb{Z}},$$ y el diferencial $d\!: \prod_{i-j=n} \mathrm{Hom}_R(A_i,A'_j) \longrightarrow \prod_{i-j=n-1} \mathrm{Hom}_R(A_i,A'_j)$ es, para $\alpha_{i,j}\in\mathrm{Hom}_R(A_i,C_j)$ con $i\!-\!j\!=\!n$ y $a\!\in\!A_i$ dado por $$(d\alpha_{i,j})(a):= \partial'(\alpha_{i,j}(a))-(-1)^n\alpha_{i,j}(\partial a).$$ Pero esto no tiene sentido: $\partial a\in A_{i-1}$ donde $\alpha_{i,j}$ no está definido, y además $\partial'(\alpha_{i,j}(a))\in A'_{j-1}$ pero $i\!-\!(j\!-\!1)\neq n\!-\!1$ . Además, ¿por qué en el teorema tomamos $H^n(\mathrm{Hom}_R(\mathbf{A},\mathbf{A}'))$ en lugar de $H_n(\mathrm{Hom}_R(\mathbf{A},\mathbf{A}'))$ ?

(2) ¿Por qué el producto tensorial de complejos se define como $$\mathbf{A}\!\otimes\!\mathbf{A}':= (\bigoplus_{i+j=n}\!A_i\!\otimes\!A'_j)_{n\in\mathbb{Z}},$$ $$\partial\!\otimes\!\partial'(a\!\otimes\!a')\!:=\! (\partial a)\!\otimes\!a'+(-1)^{\deg a}a\!\otimes\!(\partial'\!a')?$$ para los complejos de cadenas celulares, ya que un $n$ -en un producto de complejos CW es un producto de un $i$ -y una $j$ -célula con $i\!+\!j\!=\!n$ . Pero la homología celular es sólo un ejemplo de muchas teorías homológicas. ¿Hay alguna otra razón por la que se prefiera esta definición en lugar de otras posibles?

(3) ¿Por qué $\mathrm{Hom}_R(\mathbf{A},\mathbf{A}')$ definida de la forma en que lo está, es decir, ¿cuáles son los ejemplos en los que esto ocurre?

(4) ¿Deben los complejos $\mathbf{A}$ y $\mathbf{A'}$ para que se cumpla este teorema? ¿Obtenemos secuencias exactas cortas para todas $n\!\in\!\mathbb{Z}$ ?

(5) ¿Puede reescribirse la secuencia del último teorema como $$0\longleftarrow \!\!\!\prod_{i+j=n}\!\!\!\mathrm{Hom}_R(H_i(\mathbf{A}),H_j(\mathbf{A}')) \longleftarrow H^n(\mathrm{Hom}_R(\mathbf{A},\mathbf{A}')) \longleftarrow \!\!\!\!\!\prod_{i+j=n-1}\!\!\! \mathrm{Ext}^1_R(H_i(\mathbf{A}),H_j(\mathbf{A}')) \longleftarrow 0?$$

Answer 1

Para tu pregunta (4), no es necesario que los complejos estén acotados: consulta la sección 3.6 de Weibel. Tu replanteamiento de la secuencia exacta en la pregunta (5) también está bien. Así que... permítanme tratar de abordar (1), (2), y (3). Usaré convenciones cohomológicas, porque es a lo que estoy acostumbrado y si no lo hago seguro que cometo un error con los índices en algún sitio u otro. Dados complejos cohomológicos $A^\bullet$ y $B^\bullet$ el complejo de co-cadenas $\mathrm{Hom}^\bullet(A^\bullet, B^\bullet)$ se define por

$$ \mathrm{Hom}^n(A^\bullet, B^\bullet) = \prod_{i} \mathrm{Hom}(A^i, B^{n+i}) $$

con el diferencial $d^n$ se define del siguiente modo. Dada una colección de mapas $\phi^i \in \mathrm{Hom}(A^i, B^{n+i})$ definir un elemento $(\phi^i)_i \in \mathrm{Hom}^n(A^\bullet, B^\bullet)$ el diferencial $d^n$ lo asigna a $(d_B^{n+i} \phi^i - (-1)^n \phi^{i+1} d_A^i)_i \in \mathrm{Hom}^{n+1}(A^\bullet, B^\bullet)$ . Probablemente haya varias formas de motivar esta definición. He aquí algunas.

(I) Piensa en el doble complejo $C^{p,q} = \mathrm{Hom}(A^{-p}, B^q)$ . El diferencial vertical

$$\mathrm{Hom}(A^{-p}, B^q) \to \mathrm{Hom}(A^{-p}, B^{q+1}) $$

es la postcomposición con el diferencial $d_B^q : B^q \to B^{q+1}$ y el diferencial horizontal

$$ \mathrm{Hom}(A^{-p}, B^q) \to \mathrm{Hom}(A^{-(p+1)}, B^q) $$

es la precomposición con el diferencial $d_A^{-p} : A^{-p} \to A^{-(p+1)}$ . Creo que este es un complejo doble bastante natural de escribir. Pero los cuadrados de este complejo doble conmutan, y normalmente queremos que los cuadrados de los complejos dobles no conmuten, así que debemos ajustar nuestros diferenciales introduciendo un signo. Sustituyamos el diferencial horizontal $C^{p,q} \to C^{p+1, q}$ por $(-1)^{p+q+1}$ veces precomposición con $d_A^{-p}$ . Si ahora persigues la definición, creo que encontrarás que el complejo producto total asociado de este complejo doble $C^{\bullet, \bullet}$ es precisamente el complejo $\mathrm{Hom}^\bullet(A^\bullet, B^\bullet)$ tal y como lo hemos definido anteriormente.

(II) Quizá la razón de (I) no sea del todo satisfactoria, ya que el signo que introdujimos parece un poco arbitrario, e incluso ignorando eso, al final tomamos el complejo producto total, y en lugar de eso podríamos haber tomado el complejo coproducto total. He aquí una razón para motivar por qué el complejo producto total es el "correcto": dados los complejos $A^\bullet$ y $B^\bullet$ tenemos

$$ Z^0 \mathrm{Hom}^\bullet(A^\bullet, B^\bullet) = \mathrm{Hom}_{\mathbf{C}}(A^\bullet, B^\bullet), $$

donde estoy escribiendo $\mathbf{C}$ para la categoría de complejos. Demostrarlo es un ejercicio fácil para entender la definición del diferencial. Esto ya no sería cierto si hubiéramos utilizado en su lugar el complejo coproducto total, ya que no se requiere que los morfismos de los complejos sean 0 en todos los grados excepto en los finitos. Lo que esto nos dice es que la categoría de complejos es enriquecido sobre la categoría de complejos de grupos abelianos, y que aplicando el functor $Z^0$ a estas hom enriquecidas recupera las hom de la categoría preaditiva habitual de complejos.

Un punto relacionado es que una colección de mapas $\phi^i \in \mathrm{Hom}(A^i, B^{0+i})$ define un elemento de $B^0 \mathrm{Hom}^\bullet(A^\bullet, B^\bullet)$ si y sólo si define un morfismo nulo-homotópico de complejos. Esto significa que

$$ H^0 \mathrm{Hom}^\bullet(A^\bullet, B^\bullet) = \mathrm{Hom}_{\mathbf{K}}(A^\bullet, B^\bullet), $$

donde $\mathbf{K}$ es la "categoría homotópica de complejos", entendiendo por tal la categoría cuyos objetos son complejos cuyos morfismos son clases homotópicas de morfismos de complejos.

(III) He aquí la última razón motivadora de la definición del complejo hom que puedo dar, que también motiva la definición del producto tensorial de complejos. Supongamos que trabajamos sobre un anillo conmutativo $R$ de modo que el complejo hom es también un complejo de $R$ -módulos. Las definiciones del complejo hom y del producto tensorial de complejos dan lugar a una adjunción que hace que la categoría de complejos de $R$ -módulos a categoría monoidal cerrada . Más concretamente, la afirmación es que para cualquier triple de complejos $A^\bullet$ , $B^\bullet$ y $C^\bullet$ existe un isomorfismo de $R$ -módulos

$$ \mathrm{Hom}_{\mathbf{Ch}}(A^\bullet \otimes B^\bullet, C^\bullet) \stackrel{\sim}{\rightarrow} \mathrm{Hom}_{\mathbf{Ch}}(A^\bullet, \mathrm{Hom}^\bullet(B^\bullet, C^\bullet)) $$

que es natural en los tres argumentos. De hecho, incluso se puede demostrar de forma más general que existe un isomorfismo de complejos de $R$ -módulos

$$ \mathrm{Hom}^{\bullet}(A^\bullet \otimes B^\bullet, C^\bullet) \stackrel{\sim}{\rightarrow} \mathrm{Hom}^\bullet(A^\bullet, \mathrm{Hom}^\bullet(B^\bullet, C^\bullet)) $$

que es de nuevo natural en los tres argumentos (esto es más general debido a nuestra observación en (II) más arriba). La prueba de este hecho es molesto por razones notacionales y probablemente no vale la pena hacer en detalle aquí.