Prob 12, Sec 26 in Munkres 'TOPOLOGÍA, 2da ed: ¿Cómo mostrar que el dominio de un mapa perfecto es compacto si su rango es compacto?

Question

Deje $X$ $Y$ ser espacios topológicos tal que $Y$ es compacto, y deje $f \colon X \to Y$ ser cerrado, surjective, y mapa continuo tal que, para cada una de las $y \in Y$, la inversa de la imagen $f^{-1} ( \ \{y \} \ )$ es compacto.

Entonces, ¿cómo demostrar que $X$ es compacto también?

Mi esfuerzo:

Deje $\mathscr{A}$ ser un cubrimiento de a $X$. A continuación, para cada una de las $y \in Y$, la colección de $\mathscr{A}$ es una cubierta de $f^{-1} ( \ \{y\} \ )$ por conjuntos abiertos en $X$, y desde $f^{-1} ( \ \{y\} \ )$ es compacto, algunos finito subcolección de $\mathscr{A}$, decir $\mathscr{A}(y)$, también cubre $f^{-1} ( \ \{y\} \ )$.

Cómo proceder a partir de aquí?

Answer 1

Continuando a partir de su esfuerzo: Vamos a $C(y)$ ser el conjunto cerrado de $X$ que es no cubiertos por $\mathscr A(y)$. Sabemos que $f(C(y))\subseteq Y$ está cerrada, lo que significa que la complementan $U(y)\subseteq Y$ de que de nuevo está abierto.

$\mathscr A(y)$ cubierta de la fibra de $y$, así que no hay punto de $f^{-1}(\{y\})$$C(y)$, y por lo tanto $y \in U(y)$, por lo que el $U(y)$ cubierta $Y$. Desde $Y$ es compacto, puede ser cubierto por un número finito de estos $U(y)$, vamos a decir $U(y_i), 1 \leq i \leq n$ algunos $n$. Afirmo que el correspondiente $\mathscr A(y_i)$ todos los $i$ cubierta $X$.

Para demostrarlo, tomar un $x_0 \in X$. El punto de $f(x_0)$ es en algunos $U(y_j)$. Eso significa que $f(x_0) \notin f(C(y_j))$, que a su vez significa que $x_0 \notin C(y_j)$, que a su vez significa que $x_0$ está dentro de uno de los conjuntos en $\mathscr A(y_j)$.

Answer 2

Deje $\{ U_i \}_{i \in I}$ ser una cubierta abierta de a $X$. Entonces esto también es una cubierta abierta de a $f^{-1}(\{y\})$ por cada $y \in Y$. Desde $f^{-1}(\{y\})$ es compacto, existe un subconjunto finito $I_y \subset I$, de tal manera que $$ f^{-1}(\{y\}) \subset \bigcup_{i \in I_y} U_i =: U_y \; $$ Desde $U_y$ está abierto, $X \backslash U_y$ es subconjunto cerrado de $X$, y desde $f$ es un cerrado mapa, $f(X \backslash U_y)$ es un subconjunto cerrado de $Y$. Tenga en cuenta que $y \not\in f(X \backslash U_y)$. Definimos $W_y := Y \backslash f(X \backslash U_y)$. Ahora vemos que $W_y$ está abierto en $Y$$y \in W_y$, lo $W_y$ es una vecindad de a $y$. Esto significa que $\{ W_y \}_{y \in Y}$ es una cubierta abierta de a $Y$, y desde $Y$ es compacto, existe un subconjunto finito $\{ y_1, \ldots, y_m \} \subset Y$, de tal manera que $$ Y = \bigcup_{j=1}^m W_{y_j} \; .$$ Tomamos nota de que $$ f^{-1}(W_{y_j}) = f^{-1}( Y \backslash f(X \backslash U_{y_j})) = X \backslash f^{-1}(f(X \backslash U_{y_j})) \subset X \backslash (X \backslash U_{y_j}) = U_{y_j}$$ para cada una de las $j \in \{1, \ldots, m\}$, y a partir de ello se sigue que $$ X = f^{-1}(Y) = \bigcup_{j=1}^m f^{-1}(W_{y_j}) \subset \bigcup_{j=1}^m U_{y_j} = \bigcup_{j=1}^m \bigcup_{i \in I_{y_j}} U_i \; , $$ así que hemos encontrado una finito subcover de $\{ U_i \}_{i \in I}$, lo que significa, que $X$ es compacto.

Por favor marque todos estos pasos con cuidado, no estoy completamente seguro de que, si todo está funcionando.

Answer 3

Deje $\{U_\alpha\}_{\alpha\in \Gamma}$ ser una cubierta abierta de a $X$. A continuación, para cada $y\in Y$, $f^{-1}(y)\subset \cup_{\alpha \in \Gamma}U_{\alpha}$. Desde $f^{-1}(y)$ es compacto, por cada una de las $y\in Y$, existe un número finito de subcolección $\{U^y_{j}\}_{j=1}^n$ $\{U_\alpha\}_{\alpha\in \Gamma}$ tal que $f^{-1}(y)\subset\cup_{j=1}^nU^y_{j}$. Por eso, $\cap_{j=1}^n(X-U^y_j)\subset X-f^{-1}(y)$. Observe que el lado izquierdo de la expresión anterior es cerrado, por lo que la aplicación de $f$ a ambos lados, la imagen permanece cerrado. Así que, usando el hecho de que $f$ es surjective, nos, $f(\cap_{j=1}^n(X-U^y_j))\subset Y-y$. Por lo tanto, $y\in Y-f(\cap_{j=1}^n(X-U^y_j))$, e $Y-f(\cap_{j=1}^n(X-U^y_j))$ está abierto. Ahora, teniendo en unión a lo largo de $y\in Y$, obtenemos, $Y=\cup_{y\in Y}(Y-f(\cap_{j=1}^n(X-U^y_j)))$. Ahora, desde la $Y$ es compacto, existe un conjunto finito de $y\in Y$ tal que $Y=\cup_{k=1}^l(Y-f(\cap_{j=1}^n(X-U^{y_k}_j)))$. Esto implica $$ \begin{align} X = f^{-1}(Y) &=f^{-1}(\cup_{k=1}^l(Y-f(\cap_{j=1}^n(X-U^{y_k}_j)))) \\ &= \cup_{k=1}^l(f^{-1}(Y-f(\cap_{j=1}^n(X-U^{y_k}_j)))) \\ &= \cup_{k=1}^l(X-f^{-1}(f(\cap_{j=1}^n(X-U^{y_k}_j)))) \\ & \subset \cup_{k=1}^l(X-\cap_{j=1}^n(X-U^{y_k}_j)) \\ &=\cup_{k=1}^l\cup_{j=1}^nU^{y_k}_j. \end{align} $$ Así, hemos encontrado un número finito de subcover, por lo $X$ es compacto.