Espacios de Besov--descripción concreta de la inhomogeneidad espacial

Question

Algunas preguntas muy pedestres sobre los espacios de Besov. Sólo para fijar la notación:

1. Deje que $f \in \mathcal{S}'$ el espacio de las distribuciones templadas.

2. $\Psi, \{ \Phi_n \}_{n \geq 0} \subset \mathcal{S}$ tal que sus transformadas de Fourier $\hat{\Psi}, \{ \hat{\Phi}_n \}$ forman una partición de unidad subordinada a la cubierta $A_0 = (-1, 1)$ , $ A_n = \{2^{n-1} < |\xi| < 2^{n+1} \}$ .

3. Así que $f = \Psi * f + \sum_{n \geq 0} \Phi_n * f$ en $ \mathcal{S}'$ .

4.Say (mi impresión) $f$ se encuentra en el espacio de Besov no homogéneo $B^{\alpha}_{p,q}$ si

$$ \| \Psi * f\|_p + (\sum_{n \geq 0} (2^{n \alpha} \|\Phi_n * f\|_p)^q)^{\frac{1}{q}} < \infty. $$

Preguntas

¿Qué significan exactamente los índices en términos de propiedades de suavidad de la función? ¿Cómo es el contenido de frecuencia de $f$ en las bandas de frecuencias diádicas, resumidas por la norma de Besov, reflejan sus propiedades de regularidad?

Por ejemplo, si quiero encontrar $f \in L^2(\mathbb{R})$ eso es $\beta$ -diferenciable en el sentido de Sobolev, puedo simplemente buscar la condición

$$ \| \hat{f}(\xi) \xi^{\beta} \|_2 < \infty $$

¿Cuál sería la declaración correspondiente para $B^{\alpha}_{p,q}$ para, por ejemplo, una función constante a trozos? ¿Y si los distintos trozos tienen diferentes grados de suavidad?

Answer 1

Esta respuesta tiene un par de partes.

Parte I: Un cálculo

Consideremos el caso más sencillo en $\mathbb{R}$ . Dejemos que $\chi$ sea la función indicadora de $[-1,1]$ . Usted tiene que $\|\Phi_n * \chi\|_{L^2} \approx 2^{- \frac{n}2}$ . Entonces, ¿en qué espacios de Besov $\chi$ ¿pertenecer? En primer lugar, es evidente que necesitamos $\alpha \leq \frac12$ . Cuando $\alpha = \frac12$ tienes que $q = \infty$ necesariamente. En general, usted quiere $$ \sum_{n = 0}^{\infty} 2^{n (\alpha - \frac12) q } < \infty$$ Pero mientras $\alpha < \frac12$ , esta es una serie geométrica y converge. Y así para $\alpha < \frac12$ tenemos que $\chi \in B^{\alpha}_{2,q}$ para cualquier $q \in [1,\infty]$ .

Tenga en cuenta también que $B^{\alpha}_{2,2} = H^{\alpha}$ Así pues, para tu sencillo ejemplo, la descripción del espacio de Besov no te dice más que la regularidad de Sobolev, excepto para el punto final $q = \infty$ que te da infinitesimalmente más.

De hecho, a partir de la fórmula de la norma de Besov, si la norma $\|\Phi_n*f\|_p$ tiene una tasa de decaimiento polinómica $2^{-\beta n}$ entonces vemos que la descripción de Sobolev da más o menos el mismo comportamiento de regularidad que la de Besov. Donde el espacio de Besov brilla es cuando hay un término de corrección logarítmica adicional. Imaginemos que la norma decae ahora como $2^{-\beta n} f(n)$ . En esta situación se puede ganar un poco: la estimación de Sobolev no funcionará con $\beta$ derivadas, ya que se pierde la convergencia de la serie geométrica, pero funcionará con $\beta-\epsilon$ derivados para cualquier $\epsilon > 0$ . En el caso de Besov tiene la esperanza de recuperar la regularidad hasta $\beta$ derivados proporcionados $f(n)$ es sumable en algún $\ell^q$ . Pero en general: eso es todo. En la mayoría de las situaciones prácticas el poder descriptivo adicional de Besov sobre Sobolev es precisamente eso: una divergencia logarítmica.

Parte II: Suavidad espacialmente no homogénea

Después de leer un poco sobre este tema [ 1 , 2 , 3 , 4 lo que llegué a comprender es que

1. Los estudios son en su mayoría dentro del campo de teoría de la estimación y
2. El fuerte contraste entre la suavidad espacialmente inhomogénea y la suavidad espacialmente homogénea no es tanto entre las clases de Sobolev y Besov, sino entre las clases de Besov y las clases de Holder.
3. Además, el contraste no tiene que ver tanto con la pertenencia a las clases relevantes, sino con la posibilidad de encontrar estimadores que reconstruyan una función a partir de observaciones (ruidosas).

Para explicarlo: supongamos que tenemos una función $f$ en $\mathbb{R}$ . Sabemos que si $f$ tiene la regularidad del Titular $\alpha$ para $\alpha \in (0,1)$ esto significa que localmente tenemos el límite $$ |f(y) - f(x)| \leq C |y - x|^\alpha $$ cuando $|y-x| < 1$ . Obsérvese que la regularidad $\alpha$ da un límite superior uniforme al comportamiento de la escala local de la función cerca de un punto.

Supongamos que $f$ cumple las siguientes condiciones:

• $f(0) = 0 = f(1)$
• Cuando $x < \frac14$ tenemos $f(x) = |x|^{\alpha}$
• Cuando $|x - 1| < \frac14$ tenemos $f(x) = |x-1|^{\beta}$ .
• $\alpha < \beta$ .

El problema es que ahora debido a la presencia de la singularidad en $x = 0$ la función no puede pertenecer a ningún espacio mejor que $C^\alpha$ . Pero medido en relación con el $C^\alpha$ semi-norma, la singularidad en $x = 1$ es invisible ya que $$ \limsup_{r \to 0} \sup_{y\in (1-r,1+r) \setminus \{1\}} \frac{|f(y) - f(x)|}{|x-y|^\alpha} = 0 $$ Para ello vemos que un $C^\alpha$ puede tener fácilmente una suavidad espacialmente inhomogénea. (Lo mismo ocurre con las clases de Sobolev y Besov: la mayoría de las funciones, tanto en los espacios de Sobolev como de Besov, tienen una inhomogeneidad espacial realmente mala cuando se trata de suavidad puntual, véase [ 5 ].)

( Un aparte : Tenga en cuenta que los espacios de Besov $B^s_{\infty,\infty}$ coincide con el espacio Holder $C^s$ para $s$ no un número entero. (Cuando $s$ es un número entero $B^s_{\infty,\infty}$ es el espacio de Zygmund, ligeramente mejor). Así que, en un sentido muy real, los espacios de Besov incluyen entre ellos tanto el $L^2$ -Sobolev y los espacios de Holder. De modo que la restricción de que una función esté en un espacio de Besov debe considerarse como una relajación de la restricción de que una función esté en un espacio de Holder).

En cualquier caso, cuando en la literatura se escribe que los espacios de Besov se adaptan a la consideración de la suavidad espacialmente inhomogénea, lo que se quiere decir es que asumiendo que la señal se encuentra en algún espacio de Besov (relajando así la restricción de que se encuentre en un espacio de Holder o Sobolev), se pueden obtener muy buenos estimadores. Y una de las justificaciones de esto es que existen técnicas muy potentes basadas en wavelets [ 6 , 7 ], y los espacios de Besov (para el caso, también Triebel-Lizorkin) se adaptan naturalmente a las caracterizaciones de las ondículas.

El hecho de que las técnicas wavelet sean útiles para la regularidad espacialmente inhomogénea no debería sorprender, ya que una idea básica detrás de las wavelets es la de la microlocalización: que uno descompone una función simultáneamente en el espacio físico y en el de Fourier (por supuesto, la descomposición no puede ser simultánea agudo debido al principio de incertidumbre).

Para terminar, permítanme decir que incluso con las escalas de Besov y Sobolev, las escalas le dicen algo sobre la regularidad "promediada". Con esto quiero decir que no es posible precisar dónde se dan los distintos grados de suavidad o incluso su distribución espacial. (En cambio, si se tiene la descomposición wavelet delante, se puede obtener alguna información adicional). Como se indica en [ 5 ], lo que se obtiene típicamente al saber que una función está en la clase Besov son algunos límites sobre lo "grandes" que son los conjuntos de las singularidades de distinto grado.