¿Cuál es la razón por la que esta secuencia de función no converge uniformemente a$f$?

Question

Considere la posibilidad de $f_n = \sqrt[n]{x}$ $[0,1]$

Por lo que converge a la función de paso de $f = 0$ si $x = 0$ $f=1$ lo contrario

Pude ver por qué no convergen si puedo dibujar un épsilon rectángulo sobre una parte ya que por cada $n$, $f_n$ se encuentra completamente fuera de la función.

Si yo dibujo un épsilon rectángulo sobre el conjunto de la $f$, no veo por qué esto no es convergencia uniforme

EDIT: tengo este de Spivak, a fin de mantenerlo en ese nivel por favor...

Añadido pregunta: si $f_n\nrightarrow f$ algunos $x \in \mathbb{R}$, puedo concluir que no es uniformemente convergente sobre $\mathbb{R}$?

Answer 1

Me gusta @hardmath del enfoque en los comentarios de arriba. Pero aquí es un método que utiliza la definición de convergencia uniforme.

Suponga $\{f_n\}$ converge uniformemente a $f$. Pick $\varepsilon < 1/2$. Podemos encontrar una $N$ que $\forall x \in [0, 1] : |f_N(x) - f(x)| < \varepsilon$. Claramente, $f_N(1) = 1$$f_N(0) = 0$. Desde $f_N$ es continua, se puede encontrar $x \in (0, 1)$ que $f_N(x) = 1/2$ (por el teorema del valor intermedio). Esto significa que $|f_N(x) - 1| = 1/2 > \varepsilon$. Esto es una contradicción y $\{f_n\}$ no convergen uniformemente a $f$.

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Aquí está una parcela de $f_{10}(x) = \sqrt[10]{x}$:

Desde $f_n$ es continua, siempre habrá valores de $x > 0$ que $f_n(x)$ está demasiado lejos de $1$. Convergencia uniforme requiere que después de un cierto $N$, $f_n(x)$ debe estar dentro de una distancia pequeña $\varepsilon$ $f(x)$ todos los $x$ . Esta falla de la secuencia.

Answer 2

Vamos a probar primero los dos resultados.

Teorema 1 Deje $ (f_{n})_{n \in \mathbb{N}} $ ser una secuencia de funciones continuas en $ [0,1] $ que converge uniformemente a una función $ f $$ [0,1] $. A continuación, $ f $ debe ser continua en $ [0,1] $.

Prueba: Supongamos $ \epsilon > 0 $. Entonces existe un $ N \in \mathbb{N} $ tal que para todos los enteros $ n \geq N $, tenemos $$ \forall x \in [0,1]: \quad |{f_{n}}(x) - f(x)| < \frac{\epsilon}{3}. $$ Para demostrar que $ f $ es continua, escoja una arbitraria $ x_{0} \in [0,1] $. Como $ f_{N} $ es continua por supuesto, existe una $ \delta > 0 $ tal que $ |{f_{N}}(x_{0}) - {f_{N}}(x)| < \dfrac{\epsilon}{3} $ todos los $ x \in (x_{0} - \delta,x_{0} + \delta) \cap [0,1] $. Por lo tanto, por la Desigualdad de Triángulo, podemos ver que para todos los $ x \in (x_{0} - \delta,x_{0} + \delta) \cap [0,1] $, las siguientes relaciones: \begin{align} |f(x_{0}) - f(x)| &= |[f(x_{0}) - {f_{N}}(x_{0})] + [{f_{N}}(x_{0}) - {f_{N}}(x)] + [{f_{N}}(x) - f(x)]| \\ &\leq |f(x_{0}) - {f_{N}}(x_{0})| + |{f_{N}}(x_{0}) - {f_{N}}(x)| + |{f_{N}}(x) - f(x)| \\ &< \frac{\epsilon}{3} + \frac{\epsilon}{3} + \frac{\epsilon}{3} \\ &= \epsilon. \end{align} Como $ x_{0} $ $ \epsilon $ son arbitrarias, llegamos a la conclusión de que $ f $ es de hecho continua en $ [0,1] $. $ \quad \spadesuit $

Teorema 2 Deje $ (f_{n})_{n \in \mathbb{N}} $ ser una secuencia de (no necesariamente continua) de las funciones de $ [0,1] $ que converge uniformemente a una función $ f $$ [0,1] $. A continuación, $ (f_{n})_{n \in \mathbb{N}} $ converge pointwise a $ f $.

Prueba: de Esta manera se sigue directamente de la definición de convergencia uniforme. Para cualquier $ \epsilon > 0 $, existe un $ N \in \mathbb{N} $ tal que para todos los enteros $ n \geq N $, tenemos $$ \forall x \in [0,1]: \quad |{f_{n}}(x) - f(x)| < \epsilon. $$ Por lo tanto, para todos los $ x \in [0,1] $, obtenemos $ \displaystyle \lim_{n \to \infty} {f_{n}}(x) = f(x) $. $ \quad \spadesuit $

Este corolario es en respuesta a la OP de la última pregunta.

Corolario Deje $ (f_{n})_{n \in \mathbb{N}} $ ser una secuencia de (no necesariamente continua) de las funciones de $ [0,1] $ $ f $ una función en $ [0,1] $ también. Si $ {f_{n}}(x) \nrightarrow f(x) $ algunos $ x \in [0,1] $, $ (f_{n})_{n \in \mathbb{N}} $ no convergen uniformemente a $ f $.

Prueba: Por el Teorema 2, la convergencia uniforme implica pointwise convergencia; si pointwise convergencia falla, entonces la convergencia uniforme falla. $ \quad \spadesuit $

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Supongamos ahora, por el bien de la contradicción, que la secuencia de $ (f_{n})_{n \in \mathbb{N}} := (\sqrt[n]{\bullet})_{n \in \mathbb{N}} $ de funciones continuas en $ [0,1] $ converge uniformemente a una función $ f $$ [0,1] $. Por el Teorema 1, $ f $ es continua en a $ [0,1] $. Por el Teorema 2, $ f $ puede ser calculada como la pointwise límite de $ (f_{n})_{n \in \mathbb{N}} $. Por lo tanto, \begin{equation} f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 0 & \text{if %#%#%}; \\ 1 & \text{if %#%#%}. \end{array} \right. \end{equation} Sin embargo, $ x = 0 $ está claro que no es continua en a $ x \in (0,1] $, lo que contradice el Teorema 1.

Conclusión: $ f $ no convergen uniformemente a cualquier función en $ 0 $. Sin embargo, hace converger pointwise a los tramos de la función definida por $ (f_{n})_{n \in \mathbb{N}} $ descrito anteriormente.

El punto principal aquí es que la convergencia uniforme y pointwise convergencia son dos conceptos diferentes. Convergencia uniforme implica pointwise convergencia, pero no viceversa.

Answer 3

@sizz : parece como si usted no sabe la diferencia entre pointwise la convergencia y la convergencia uniforme.

Si para cada $x\in\mathbb R$, $\lim_{n\to\infty} f_n(x)=f(x)$, que es pointwise convergencia de $f_n$$f$. Eso es lo que tenemos aquí (aunque en orden para que la expresión sea verdadera, tal como usted ha indicado, usted debe tener a $\sqrt[n]{|x|}$).

Ahora mira en el supremum sobre todas las $x\in\mathbb R$ de la distancia entre el$f_n(x)$$f(x)$. Si que va a$0$$n\to\infty$, que es uniforme convergencia de $f_n$$f$. Que no sucede aquí. Usted tiene $$ f(x) = \begin{cases} 1 & \text{if }x\ne 0, \\ 0 & \text{if }x=0 \end{casos} $$ y $f_n(x)=\sqrt[n]{|x|}$. Como $x\to0$, usted tiene la distancia entre el $f_n(x)$ $f(x)$ aproxima $1$. Por lo que el uniforme "distancia" entre el$f_n$$f$$1$. Y que no vaya a$0$$n\to\infty$. Así que usted no tiene convergencia uniforme.