Utilicemos la inducción constructiva para demostrar que el $d$ -Laplaciano de dimensiones $\Delta_d$ viene dada por
$$\Delta_d = \frac1{r_d^{d-1}}\partial_{r_d}(r_d^{d-1}\partial_{r_d}) + \frac1{r_d^2}L_d^2$$
donde $r_d$ es el $d$ -y el radio de la dimensión $L_d$ el $d$ -operador de momento angular, cuya descripción se construirá.
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Para $d=1$ no hay ángulo, es decir, el radio es el $x$ -coordinar y $L_1=0$ . Por lo tanto, $$\Delta_1=\partial_x^2=\frac{d^2}{dx^2}$$
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Para $d=2$ tenemos $(x_1,x_2) = \rho(\cos\phi, \sin\phi)$ y a partir de las conocidas coordenadas polares se obtiene $L_2^2=\partial_\phi^2$ . Este caso se trata por separado debido a la incoherencia con los ángulos anon
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Para $d-1\to d\ge3$ , dejemos que $r\equiv r_d$ y $z\equiv x_d \equiv r\cos\theta$ (donde el ángulo adicional se denomina $\theta$ mientras que los demás pueden permanecer en el anonimato) tal que $\rho\equiv r_{d-1} = r\sin\theta$ . Obsérvese comparando un diferencial total que $$\text d\rho\cdot\partial_\rho + \text dz\cdot\partial_z = \text dr\cdot\partial_r + \text d\theta\cdot\partial_\theta$$ y junto con $\text d\rho = \text dr\cdot\sin\theta + \text d\theta\cdot r\cos\theta$ y $\text dz=\text dr\cdot\cos\theta-\text d\theta\cdot r\sin\theta$ se obtiene $$\begin{pmatrix}\partial_\rho\\\partial_z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\sin\theta & \frac1r\cos\theta\\ \cos\theta&-\frac1r\sin\theta\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\partial_r\\\partial_\theta\end{pmatrix}.$$ Since $\Delta_d = \Delta_{d-1}+\partial_z^2$ and $\frac1{\rho^{d-2}}\partial_\rho(\rho^{d-2}\partial_\rho) = \partial_\rho^2 + \frac{d-2}\rho\partial_\rho$, one obtains together with $$\partial_\rho^2 + \partial_z^2 = (\partial_\rho,\partial_z)\begin{pmatrix}\partial_\rho\\\partial_z\end{pmatrix} = \partial_r^2 + \frac1r\partial_r + \frac1{r^2}\partial_\theta^2 $$ y $$\frac{d-2}\rho\partial_\rho = \frac{d-2}{r\sin\theta}(\sin\theta\partial_r+\frac1r\cos\theta\partial_\theta)$$ $$\boxed{\Delta_d = \underbrace{\partial_r^2 + \frac{d-1}r\partial_r}_{\frac1{r^{d-1}}\partial_r(r^{d-1}\partial_r)} + \frac1{r^2}\Big(\underbrace{\partial_\theta^2+(d-2)\cot\theta\partial_\theta}_{=\frac1{\sin^{d-2}\theta}\partial_\theta(\sin^{d-2}\theta\partial_\theta)}+\frac1{\sin^2\theta}L_{d-1}^2\Big).}$$
Así, de forma recursiva, cuando $\theta$ denota el nuevo ángulo añadido, se obtiene
$$L_d^2 = \frac1{\sin^{d-2}\theta}\partial_\theta(\sin^{d-2}\theta\partial_\theta) + \frac1{\sin^2\theta} L_{d-1}^2.$$
Esta recursión se puede resolver directamente para obtener finalmente
$$\boxed{L_d^2 = \sum_{i=2}^d \left(\prod_{j=i+1}^d\frac1{\sin^2\theta_j}\right)\frac1{\sin^{i-2}\theta_i}\partial_{\theta_i}(\sin^{i-2}\theta_i\partial_{\theta_i})}$$
donde $\theta_j$ denota el $j-1$ -ésima (es decir, no hay $\theta_1$ ). Tenga en cuenta que el $d=2$ La incoherencia se compensa con la $i-2$ exponente.
Así que para la 3-esfera, que los ángulos sean, $(\phi,\theta,\omega)$ entonces $$L_4^2 = \frac1{\sin^2\omega}\left(\partial_\omega(\sin^2\omega\partial_\omega) + \frac1{\sin^2\theta}\left((\sin\theta\partial_\theta)^2 + \partial_\phi^2\right)\right)$$
