He probado todos los enfoques posiblemente.
En primer lugar expresé $80$ $60+20$ y $40$ $60-20$ y luego utilizar identidades trigonométricas. Más tarde usé condicionales identidades expresando $\tan 20^\circ+\tan40^\circ+\tan120^\circ$ $\tan 20^\circ \tan40^\circ \tan120^\circ$. Pero realmente no puedo llego al final de la misma.
Por favor ayuda.
$$\tan20^\circ-\tan60^\circ=-\dfrac{\sin(60-20)^\circ}{\cos20^\circ\cdot\cos60^\circ}=-\dfrac{2\sin40^\circ}{\cos20^\circ}$$
$$\tan40^\circ+\tan80^\circ=\dfrac{\sin(40+80)^\circ}{\cos40^\circ\cos80^\circ}$$
La adición de $(1),(2)$
$$\dfrac{\sin120^\circ}{\cos40^\circ\cos80^\circ}-\dfrac{2\sin40^\circ}{\cos20^\circ} =\dfrac{\sin120^\circ\cos20^\circ-2\sin40^\circ\cos40^\circ\cos80^\circ} {\cos20^\circ\cos40^\circ\cos80^\circ}$$
Ahora $S=\sin120^\circ\cos20^\circ-2\sin40^\circ\cos40^\circ\cos80^\circ$
$2S=\sin(120+20)^\circ+\sin(120-20)^\circ-2\sin80^\circ\cos80^\circ$
$=\sin(180-40)^\circ+\sin100^\circ-\sin160^\circ$
$=\sin40^\circ+\sin80^\circ-\sin20^\circ$
$=\sin40^\circ+2\sin30^\circ\cos50^\circ$
$=2\sin40^\circ$
Las fórmulas que se usan :
$\sin(180^\circ-A)=\sin A$
Prosthaphaeresis Fórmula $:\sin C-\sin D$
$\sin2y=2\sin y\cos y$
$2\sin A\cos B=\sin(A+B)+\sin(A-B)$
Ahora uso A multiplicar $\cos(20^\circ)\cos(40^\circ)\cos(80^\circ)$ por el seno de un cierto ángulo, se reduce. ¿Qué es ese ángulo? para encontrar la respuesta a la se $$\dfrac1{\dfrac18}=?$$
El Uso De $\tan20^\circ\cdot\tan40^\circ\cdot\tan80^\circ=\tan60^\circ$ (Prueba)
$$\tan20^\circ+\tan40^\circ+\tan80^\circ-\tan60^\circ$$
$$=\tan20^\circ+\tan40^\circ+\tan80^\circ-\tan20^\circ\cdot\tan40^\circ\cdot\tan80^\circ$$
$$=\tan20^\circ(1-\tan40^\circ\cdot\tan80^\circ)+\tan40^\circ+\tan80^\circ$$
$$=(1-\tan40^\circ\cdot\tan80^\circ)\left(\tan20^\circ+\dfrac{\tan40^\circ+\tan80^\circ}{1-\tan40^\circ\cdot\tan80^\circ}\right)$$
$$=\dfrac{\cos(40^\circ+80^\circ)}{\cos40^\circ\cos80^\circ}\left(\tan20^\circ+\tan(40^\circ+80^\circ)\right)$$
$$=\dfrac{\cos120^\circ}{\cos40^\circ\cos80^\circ}\cdot\dfrac{\sin(20^\circ+120^\circ)}{\cos20^\circ\cdot\cos120^\circ}$$
$$=\dfrac{\sin40^\circ}{\cos20^\circ\cos40^\circ\cos80^\circ}\text{ Using }\sin(180^\circ-A)=\sin A$$
Con el comentario de Roman83, $$\tan20^\circ+\tan80^\circ−\tan40^\circ=3\tan60^\circ$$(Proof is in Method$ \#2$ aquí)
el numerador puede ser reducido a
$$2(\tan60^\circ+\tan40^\circ)=\dfrac{2\sin(60+40)^\circ}{\cos60^\circ\cdot\cos40^\circ}$$
Utilizando $\sin(180^\circ-A)=\sin A,\sin100^\circ=\sin80^\circ$
Utilizando $\sin2B=2\sin B\cos B,\sin80^\circ=2\sin40^\circ\cos40^\circ$
y ya terminamos!
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