¿Lo que ' s el nombre de esta propiedad algebraica?

Question

Estoy buscando un nombre de una propiedad de la cual tengo un par de ejemplos:

$(1) \quad\color{green}{\text{even number}}+\color{red}{\text{odd number}}=\color{red}{\text{odd number}}$

$(2) \quad \color{green}{\text{rational number}}+\color{red}{\text{irrational number}}=\color{red}{\text{irrational number}}$

$(3) \quad\color{green}{\text{algebraic number}}+\color{red}{\text{transcendental number}}=\color{red}{\text{transcendental number}}$

$(4) \quad\color{green}{\text{real number}}+\color{red}{\text{non-real number}}=\color{red}{\text{non-real number}}$

Si tuviera que generalizar, este, yo diría que si tenemos la partición de un conjunto $X$ en dos subconjuntos $S$$S^c=X\setminus S$, entonces la suma de un miembro de $S$ y un miembro de $S^c$ es siempre en cualquiera de las $S^c$ o $S$.

Mi pregunta es:

"Hay un nombre para esta propiedad (en estos cuatro casos) y es esta propiedad cierto en general?"

Además, ¿alguien tiene más ejemplos de esta propiedad?

Answer 1

Creo que esto viene del hecho eso si tienes un grupo $G$ y $H$ un subgrupo de $G$ entonces si $h\in H$ y $x\not\in H$ obtenemos $xh\not\in H$.

La prueba es por contradicción, supongamos que $xh=l$ $l\in H$. Entonces postmultiplying $h^{-1}$ da $x=lh^{-1}$ que se encuentra en $H$ $H$ es un subgrupo de $G$.

Answer 2

Yo llamo a esto el complementario subgrupo ley, porque la composición de la ley surge a través de la siguiente complementarios vista del Subgrupo de Prueba ($\rm\color{#c00}{ST} $), $ $ cf. debajo de uno de mis viejos sci.matemáticas puestos.

Teorema $ $ Deje $\rm\,G\,$ ser un subconjunto no vacío de un grupo abelian $\rm\,H,\,$ con complemento set $\rm\,\bar G = H\backslash G.\,$ A continuación, $\rm\,G\,$ es un subgrupo de $\rm\,H\iff G + \bar G\, =\, \bar G. $

Prueba $\ $ $\rm\,G\,$ es un subgrupo de $\rm\,H\!\overset{\ \large \color{#c00}{\rm ST}}\iff\! G\,$ es cerrado bajo la resta, por lo que, complementando

$\begin{eqnarray} & &\ \ \rm G\text{ is a subgroup of }\, H\ fails\\ &\iff&\ \rm\ G\ -\ G\ \subseteq\, G\,\ \ fails\\ &\iff&\ \rm\ g_1\, -\ g_2 =\,\ \bar g\ \ \ for\ some\ \ g_1,g_2\in G,\ \ \bar g\in \bar G\\ &\iff&\ \rm\ g_2\, +\ \bar g\ \ =\,\ g_1\ for\ some\ \ g_1,g_2\in G,\ \ \bar g\in \bar G\\ &\iff&\ \rm\ G\ +\ \bar G\ \subseteq\ \bar G\ \ fails\qquad\ {\bf QED} \end{eqnarray}$

Las instancias de esta ley son omnipresentes en concreto el número de sistemas, por ejemplo, a continuación. Para muchos más ejemplos ver algunos de mis anteriores posts aquí (y también en ciencia.matemáticas).

Answer 3

Esto es básicamente "el complemento" de la declaración de que los conjuntos de números en verde son subgrupos de $(\Bbb R,+)$.

Dado que para un subgrupo $S<\Bbb R$ $a,b\in S$ implica $a-b\in S$, por lo que rápidamente puede calcular que si $c\notin S$, $a+c=b\in S$ implica $a-b=c\in S$, una contradicción. Por lo tanto, $a+c\notin S$ para cualquier $a\in S$, $c\notin S$.

También puedes agregar a tu lista de cualquier cosa como "un número entero más una no entera es un no entera" y "para cualquier sub-anillo $S\subseteq \Bbb R$, un elemento en $S$ más un elemento fuera de $S$ resultados en un elemento fuera de $S$." De nuevo, usted incluso no necesita realmente un sub-anillo: esto es cierto para cualquier subgrupo.