Que $K = \mathbb{Q}(\sqrt{23})$. Calcular el número de clase de $K$.

Question

Deje $K = \mathbb{Q}(\sqrt{23})$. Calcular el número de clase de $K$.

Aquí es lo que yo sé:

Como $d = 23 \not\equiv 1$ (mod $4$) tenemos a $\Delta_K = 4d = 92$.

El Minkowski obligado es $M_K = \sqrt{23} < 5$ tan solo necesitamos comprobar los ideales generados por los números primos 2 y 3.

Con el polinomio mínimo $f =X^2 -23$ encontramos que en $\mathbb{F}_2$ este factorizes como $X^2 + 1 = (X + 1)^2$, lo $(2) = (2, 1 + \sqrt{23})^2$.

En $\mathbb{F}_3$, $f$ es irreductible y, por tanto, $(3)$ es primo.

Aquí es donde me quedo atascado. ¿Cómo puedo utilizar estos datos para encontrar el número de la clase de $K$?

Answer 1

Así que cada clase ideal contiene un ideal de norma $1$, $2$, $3$ o $4$. No hay codigo postal de norma $3$. ¿Qué norma $2$? ¿Cuál es la norma de $5+\sqrt{23}$? Los ideales de norma $4$ son productos de los ideales de $2$ norma, por lo que si norma $2$ ideales son principales...