¿Son equivalentes estas dos igualdades? $ABA=0$ y $BA=0$ ?

Question

Hay dos igualdades, como se indica a continuación:

$ABA=0$ , $BA=0$

donde $A$ y $B$ son dos $n\times n$ matrices.

¿Son iguales las igualdades mencionadas? Si no es así, ¿por qué?

Gracias de antemano.

Answer 1

La igualdad $BA=0$ obviamente implica $ABA=0$ . Pero la implicación inversa no es válida. Por ejemplo, dejemos que $$ A=\begin{bmatrix} 1&0\\0&0\end{bmatrix},\ \ B=\begin{bmatrix} 0&0\\1&0\end{bmatrix} . $$ Entonces $ABA=0$ pero $BA\ne0$ .

Cambiando $B$ a $$ B=\begin{bmatrix} 0&1\\1&0\end{bmatrix} ,$$ se obtiene un ejemplo en el que $AB\ne0$ , $BA\ne0$ y $ABA=0$ .

Editar: como menciona el usuario Mejorar, vale la pena señalar que la doble implicación se mantiene cuando $A$ es invertible.

Answer 2

Considere $A = \begin{pmatrix}0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, B = I$ . Entonces $BA = AB = A \neq 0$ pero $ABA = A^2 = 0$

Answer 3

No es equivalente. Sea $n = 2$ . Toma $A$ como la matriz que mata el vector unitario $e_1$ , digamos, y $B$ como la rotación de $90^\text{o}$ . Entonces $A B A$ mata a todos los vectores. Pero $B A$ sólo mata a los que están a lo largo de $e_1$ .

Answer 4

Si estas dos ecuaciones fueran iguales entonces también para $B=A$ las ecuaciones $A^3=0$ y $A^2=0$ deberían ser equivalentes lo que ciertamente no es el caso para todas las matrices,

Consideremos, por ejemplo, el caso de la matriz

$A= \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$ , $A^2= \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ , $A^3= \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ .