Se desprende de Bargmann límite.
El Bargmann obligado es bien conocido por una de tres dimensiones central de potencial [1, Thm. XIII.9] [2,3]:
$$ N(\ell) < \frac{1}{2\ell + 1} \int_0^\infty r V^-(r) dr $$
Aquí, $\ell$ es el número cuántico azimutal, $N(\ell)$ el número de obligado autoestados con este número cuántico y $V^-(r) = \max\{0,-V(r)\}$.
Con un truco, podemos aplicar esto a un potencial unidimensional [2, Sección III] [1, Problema XIII.22].
El truco es que el 1D ecuación de Schrödinger
$$ (-\partial_x^2 + u) \psi(x) = E\psi(x) $$
es igual a la $\ell=0$ radial de la ecuación de Schrödinger
$$ (-\partial_r^2 + V(r)) \psi_{rad}(r) = E\psi_{rad}(r) $$
excepto para el $\psi_{rad}(0) = 0$ condiciones de frontera.
También, debemos saber que la cantidad de energía negativa enlazados a los estados es igual al número de nodos de la energía cero de la función de onda, y lo mismo es en el 3D caso para el número de nodos de la cero-energía radial de la función de onda.
Larga historia corta, tenemos que contar los nodos de la solución a
$$ (-\partial_x^2 + u) \psi(x) = 0 . $$
Y lo podemos hacer por dividir el problema en dos partes que se parecen a contar la energía negativa enlazados a los estados de 3D radial problemas.
Esto se explica en detalle en [2, Sección III], el resultado es que
$$ \boxed{N < 1 + \int_{-\infty}^\infty |x| u^-(x) dx } $$
en la 1D-caso.
Por último, aplicar esto a su caso.
Tenga en cuenta que$0 \leq |x| \leq |x|+1$$0 \leq u^-(x) \leq |u(x)|$.
Por lo tanto,
$$ N < 1 + \int_{-\infty}^\infty (1 + |x|)\, |u(x)|\; dx < \infty , $$
hay un número finito de obligado autoestados.
[1] M. Reed, B. Simon: Métodos de la Moderna Física Matemática 4: Análisis de los Operadores.
[2] K. Chadan, N. N. Khuri, A. Martín, T. T. Wu: Enlazados a los Estados en una y dos Dimensiones Espaciales (arXiv:matemáticas-ph/0208011)
[3] https://en.wikipedia.org/wiki/Bargmann%27s_limit
