Ejercicio 5.3 Cálculo Fácil, por Silvano Thompson, es encontrar a $\mathrm d\over \mathrm dx$ cuando la siguiente relación tiene ($a$$b$ son dos constantes):
$$ay + bx = by - ax + (x + y)\sqrt{a^2 - b^2}$$
He intentado diferenciar ambos lados de esta ecuación con respecto a $x$ como sigue:
$$\begin{align} {\mathrm d\over \mathrm dx}(ay + bx) &= {\mathrm d\over \mathrm dx}\left(by - ax + (x + y)\sqrt{a^2 - b^2}\right)\\ a{\mathrm d\over \mathrm dx} + b &= b{\mathrm d\over \mathrm dx} - a + \left(1 + {dy\over dx}\right)\sqrt{a^2 - b^2}\\ \left(a - b - \sqrt{a^2 - b^2}\right){\mathrm d\over \mathrm dx} &= \sqrt{a^2 - b^2} - a - b\\ {\mathrm d\over \mathrm dx} &= {\sqrt{a^2 - b^2} - a - b \over a - b - \sqrt{a^2 - b^2}} \end{align}$$
El autor tiene considerablemente más finura y la primera hace un poco de manipulación algebraica para obtener la ecuación en mejor forma. Primero, él cuadrados de los dos lados, luego empuja algunas cosas a su alrededor, entonces toma la raíz cuadrada de ambos lados:
$$\begin{align} (a - b)^2y^2 + (a + b)^2x^2 + 2(a + b)(a - b)xy &= (x^2 + y^2 + 2xy)(a^2 - b^2)\\ \left[(a - b)^2 - \left(a^2 - b^2\right)\right]y^2 &= \left[\left(a^2 - b^2\right) - (a + b)^2\right]x^2\\ 2b(b - a)y^2 &= -2b(b + a)x^2\\ y &= \sqrt{a + b \over a - b}x\\ {\mathrm d\over \mathrm dx} &= \sqrt{a + b \over a - b} \end{align}$$
Yo creo que ambas respuestas son correctas, pero si que es cierto, debería ser posible para convertir de uno a otro de manera algebraica. Para la vida de mí, no puedo ver cómo hacer esto. Así que mi pregunta es: ¿son estas dos respuestas realmente equivalente?
