¿Cómo crear nuevas matemáticas?

Question

¿Cómo crean los científicos y matemáticos nuevas matemáticas para describir conceptos? ¿Qué son las nuevas matemáticas? ¿Es necesariamente en el formato de las matemáticas anteriores? ¿Puede una persona inventar o descubrir matemáticas de tal manera que no estén en el formato de la geometría, el álgebra o el análisis que conocemos?

Por supuesto que sé que podemos definir un nuevo metro y tener una nueva geometría, o definir una operación n-aria nueva y tener un nuevo álgebra, etc. ¿Pero podemos crear unas nuevas matemáticas que no sean así?

De hecho, mi pregunta es la siguiente: cuando un científico (en particular, un físico) intenta crear una teoría matemática para un concepto, ¿cómo lo hace? ¿Puede inventar unas nuevas matemáticas que no estén en el formato de las matemáticas disponibles previamente? (es decir, que no sea geometría, álgebra o análisis, etc.) Muchas gracias.

Answer 1

Estoy de acuerdo con las respuestas anteriores, pero quiero agregar otro punto, la mayoría de las veces, no hay un gran descubrimiento singular de una nueva teoría importante.

En cambio, lo que suele suceder es que, por ejemplo, el investigador A resuelve algún problema usando una combinación de técnicas conocidas, luego el investigador B aplica una combinación similar a un problema relacionado, con ligeras mejoras comunicadas por el investigador C y así sucesivamente.

Esto continúa hasta 20 años después, cuando alguien más revisa por completo todo el conjunto de documentos, unifica la notación, elimina los callejones sin salida que no llevan a nada y publica un libro sobre la nueva teoría que gradualmente ha surgido.

Answer 2

(Gran parte de lo siguiente contiene mis propias opiniones.)

Realmente depende de las matemáticas que se estén creando, y este es mucho más un proceso creativo de lo que creo que la mayoría de las personas (al menos no matemáticos) se dan cuenta. Por lo tanto, es difícil (y algo irrespetuoso) reducirlo a una explicación simplemente cortada.

Sin embargo, a menudo se reduce a una combinación de resolver un problema específico, simplificar/generalizar cosas y formalizarlas. Si tienes un problema específico que quieres resolver, digamos en física, a menudo ayuda reformular y/o generalizar las cosas para tener una mejor comprensión de lo que realmente estás haciendo.

Tomemos el "simple" ejemplo de medir áreas y volúmenes. Realmente creo que este video lo hace mejor que yo, al explicar la reformulación del problema de calcular el área de un círculo. No es difícil entender que estos eran problemas cruciales, que necesitaban una solución exacta, y tratando con este tipo de problemas, el cálculo fue prácticamente inventado/descubierto de forma independiente por Gottfried Leibniz e Isaac Newton. Problemas similares y soluciones relacionadas incluso han sido encontradas desde los antiguos griegos, donde por ejemplo, el llamado Método de Exhaustión, es un método para encontrar el área de una forma de una manera muy similar a como se haría usando límites y cálculo más tarde.

El párrafo anterior también arroja algo de luz sobre otra realización, que estos desarrollos a menudo llevan mucho tiempo. Usualmente, toda un área de las matemáticas, como el cálculo, puede llevar cientos de años en desarrollarse. Especialmente si se cuenta el tiempo que la gente ha pasado desarrollando métodos para resolver el tipo de problemas que llevaron al desarrollo real del campo en cuestión. Para el cálculo, esto fue quizás medir áreas y volúmenes, y para el álgebra quizás fue intentar generalizar la aritmética de los números, para algunos, quizás para resolver ecuaciones. La teoría de grupos es también un ejemplo más moderno (c. 1800 o así) de un campo, dentro del álgebra en sí, que más o menos surgió al tratar de generalizar cosas al resolver ecuaciones. Muchos probablemente estarían de acuerdo en que incluso un área tan abstracta como la lógica misma surgió al tratar de generalizar y/o formalizar la razón y el lenguaje.

También hay que tomar en cuenta que aunque un área, como el álgebra por ejemplo, puede haber surgido al tratar de resolver un problema físico, el desarrollo del área también se debe en gran medida a la pura curiosidad y creatividad. Aunque resolver ecuaciones quizás haya comenzado con un problema físico, las personas que se obsesionaron con resolver ecuaciones que otros no lograron resolver, probablemente estuvieron entre los que impulsaron el campo. Para una lectura exhaustiva sobre el desarrollo de estos campos, sugiero tanto Mathematics and its History de John Stillwell, como (para una lectura un poco más fácil en mi opinión) A History of Mathematics: An Introduction de Victor J. Katz. Honestamente creo que hay pocas formas mejores de obtener una respuesta sólida a tu pregunta que leyendo sobre la historia del desarrollo.

Por supuesto, los campos de las matemáticas surgen más rápido que a lo largo de cientos de años. La teoría del caos, es quizás un campo más cercano a la física que muchos, pero aún considerado un campo por derecho propio por muchos. Incluso esto tal vez tenga sus raíces en problemas anteriores, por ejemplo en los estudios del problema de los tres cuerpos por Poincaré [9], pero como campo la mayoría coincide en que realmente se desarrolló por primera vez durante los años sesentas y setentas, por Edward Lorentz, entre otros. Más o menos, surgió del hecho de que sistemas dinámicos deterministas, a veces aparentemente simples, podrían tener un comportamiento impredecible y muy complicado. La teoría del caos fue más o menos lo que surgió al tratar de entender cómo y por qué sucede esto.

Para concluir, creo que resolver un problema específico (independientemente del área con la que estés tratando) con precisión a menudo implica generalizar las cosas y esto a menudo resulta en hacer matemáticas de una forma u otra. La idea de formalizar y generalizar las cosas sirve para muchos propósitos en mi opinión, pero quizás principalmente hace que sea más claro para ti mismo, y hace que el problema sea más accesible para otros (al menos matemáticos) que no están familiarizados con tu problema específico.

Espero que esto te dé una comprensión aceptable de lo que podría significar desarrollar matemáticas, en la menor cantidad de palabras posible. A menudo, las nuevas áreas no surgen de la nada, sino que son más bien cambios/desarrollos de las antiguas. Una mejor comprensión requiere leer mucho sobre las creaciones de otros, por ejemplo, a través de la historia de las matemáticas. Quizás alguien más pueda agregar ejemplos más concretos de, quizás, desarrollos más modernos, donde un área completa ha surgido más o menos de la nada.

[9]: Historia de las Matemáticas, Volumen: 11, AMS, (1997), pp. 272.

Answer 3

Esta respuesta es explícitamente una opinión personal.

Siento que las nuevas matemáticas se crean principalmente con el propósito de iluminar alguna conexión previamente no vista (o, tal vez, vista vagamente) entre dos o más cosas. Las cosas pueden estar en las matemáticas o en el mundo natural (incluido el mundo humano), o en ambos. Vemos atisbos de algún modelo que conecta estas cosas, y creamos el andamiaje que necesitamos para explorarlas. Con el tiempo, este modelo nos permite entender esas cosas, en términos mutuos, mejor de lo que lo haríamos de otra manera. Eventualmente, el modelo en sí mismo puede convertirse en un objeto de estudio.

Un pensamiento relacionado: Realmente no entendemos por qué (si la pregunta tiene sentido de ser formulada) las matemáticas son tan efectivas al elucidar el mundo natural. Una posibilidad, similar al principio antrópico débil, es que si no lo fuera, probablemente no habrían evolucionado seres lo suficientemente avanzados como para preguntarse por qué las matemáticas son tan efectivas como lo son.

No obstante, es una forma notablemente efectiva de explorar el mundo. Combinada con la experimentación y observación, nos permite articular, de una manera más o menos precisa, nuestro entendimiento de cómo funciona el mundo. Incluso por sí sola, exhibe poderes de introspección: Hemos ideado formas de hacer que las matemáticas se inspeccionen y hagan afirmaciones sobre sí mismas. De esa manera, hemos podido hacer declaraciones sobre lo que creemos que es la naturaleza de la verdad y la demostración que asombrarían a las personas de apenas un milenio atrás.

Answer 4

Tengo algunas ideas particulares cuando se trata de esta pregunta. Estoy bastante seguro de que la impulsión detrás de las Matemáticas es la impulsión hacia la generalización.

Un cierto tipo de Matemáticas 'nuevas' se basa en ideas que son bastante rigurosas y bien conocidas, y se construye sobre ellas; en cada etapa construyendo una nueva plataforma donde nuevos resultados pueden ser probados en un paisaje bastante general.

¿Cuál es la motivación detrás de la generalización? Bueno, si estás probando hechos en un paisaje general, fácilmente se aplican al caso particular donde estabas probando hechos antes. Te gustaría hacer que estos resultados sean consistentes y construir definiciones en consecuencia. Esta es la tendencia general en Matemáticas.

• Análisis de la Recta Real $\subseteq$ Espacios Métricos $\subseteq$ Espacios Topológicos
• Integración de Riemann $\subseteq$ Integración de Lebesgue
• etc.

Otro tipo de Matemáticas 'nuevas' proviene de la interacción de 2 campos diferentes de Matemáticas. Las Matemáticas están sorprendentemente muy interconectadas entre sí. Esto se puede ver especialmente en el campo de combinatoria donde se utilizan 'trucos' de otros campos para probar resultados. Un ejemplo de esto es el Método Probabilístico de Combinatoria de Erdos, donde reformula problemas de Teoría de Grafos en un marco de Probabilidad para lograr cotas previamente imposibles.

En la Teoría de Grafos también encontramos los ámbitos de Teoría Algebraica de Grafos y Teoría Topológica de Grafos donde las materias se entrelazan para ver problemas bajo una nueva luz y probar resultados de forma más general utilizando herramientas utilizadas anteriormente para probar resultados en Topología y Álgebra Lineal...

En el ámbito del modelado...la motivación para modelar un problema en particular puede llevar a avances particulares...e incluso a una explosión total de resultados como el movimiento Browniano y sus orígenes en Procesos de Wiener, etc. Estadísticas...Procesos Estocásticos...todo esto está alimentado por aplicaciones de la vida real y tiene una base en Análisis Funcional.

Entonces, ¿cuál es la moraleja de la historia exactamente? (Advertencia: Mi opinión)

1. Ver si alguien ha trabajado en el problema en el que estás interesado
2. Si no, utiliza resultados anteriores para construir más problemas que apunten en la dirección del problema de interés
3. Si no, ve el problema bajo una luz diferente. Utiliza técnicas e ideas de otras áreas y realmente comprende la esencia profunda de lo que están haciendo y también agrega mucho de creatividad para hacer las ideas rigurosas y consistentes
4. Si todo lo demás falla, inventa un campo totalmente nuevo de Matemáticas

El Paso 4 puede parecer bastante fácil para los ingenuos que mencionan a Galois, quien básicamente inventó la Teoría de Grupos o a Euler, quien accidentalmente dio origen a la Teoría de Grafos, pero a la luz del Paso 1 dada tanta labor que se ha realizado con respecto a las Matemáticas y tanta gente inteligente que ha trabajado en diversos campos de las Matemáticas...la probabilidad de tropezar con un campo totalmente nuevo de Matemáticas que todos han pasado por alto es bastante baja.

TLDR; ¡Mucho de creatividad, imaginación y trabajo duro!

Answer 5

Creo que la respuesta tiene que ver con resolver problemas. Resolver el problema puede llevar a la creación de nuevos métodos de solución. Este es el origen de toda nueva matemática. El proceso de creación de nuevas ideas es un misterio de la mente. No sabemos exactamente cómo se hace. Lo siento.