Dos secuencias, mismo sistema, límites

Question

Hace poco vi un usuario escribe una secuencia como $\{x_n\}_{n=1}^{\infty}$. Esto es generalmente mal notación, ya que podría llevar a las personas a pensar en la secuencia como un conjunto, en lugar de como una secuencia, aunque nosotros (ojalá) todos sabemos lo que significa.

Sin embargo, esto plantea la pregunta: ¿cuándo es el conjunto de $\{x_n: n \in \mathbb{N}\}$ determinar el límite de $\lim_{n \rightarrow \infty} x_n$? Claramente, cuando el conjunto es finito, no puede, por ejemplo,$(1, 0, 0, 0, ...)$$(0, 1, 1, 1, ...)$. Pero si no? Más precisamente:

Deje $(x_n)_{n=1}^{\infty}$ $(y_n)_{n=1}^{\infty}$ ser real secuencias, tales que:

• $\lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_n$ $\lim \limits_{n \rightarrow \infty} y_n$ tanto existen

• $\{x_n: n \in \mathbb{N}\} = \{y_n: n \in \mathbb{N}\} =: \mathcal{Z}$

• para todos los $z \in \mathcal{Z}$, los conjuntos de $\{n: x_n = z\}$ $\{n: y_n = z\}$ son tanto finito.

Entonces, ¿siempre tenemos $\lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_n = \lim \limits_{n \rightarrow \infty} y_n$?

Answer 1

Si $\lim_{n\to\infty}x_n$ existe, entonces es un punto límite de $\mathcal{Z}$, por su condición de finitud. Por el contrario, si $\mathcal{Z}$ tiene más de un punto límite, entonces también lo hace en $(x_n)$% #%, por lo tanto, no existe #%. Así $\lim_{n\to\infty}x_n$ tiene exactamente un punto límite. Por simetría, éste es también el límite de la secuencia $\mathcal{Z}$.

Answer 2

Dos puntos:

1. Para mí, escribir $\{x_n\}_{n=1}^\infty$ es un claro e inequívoco signo de que usted está hablando acerca de una secuencia y no un conjunto. No está mal la notación, es apenas diferente de la tuya.

2. La respuesta a tu pregunta es, yo creo, sí:

Deje $x$ ser el límite de $\{x_n\}_{n=1}^\infty$ y deje $\epsilon > 0$. Entonces, sabemos que existe un $N$ que$n>N$,$|x_n-x|<\epsilon$.

También sabemos que sólo un número finito de elementos de $\{y_n\}_{n=1}^\infty$ son igual a $x_1,x_2,\dots, x_N$. Esto significa que existe una $M$, de tal manera que para todos los $m>M$, sabemos que $y_m\notin \{x_1,\dots, x_N\}$. Pero eso significa que para todos los $m>M$, $y_m=x_{n'}$ para algunos $n'>N$, lo que significa que $$|x-y_m| = |x-x_{n'}|<\epsilon$$ por lo $x$ es también el límite de $\{y_n\}_{n=1}^\infty$

Answer 3

Déjenos denotan $x=\lim_n x_n$ y $y=\lim_n y_n.$ por definición, $\epsilon>0$ allí existe $N\in \mathbb{N}$ tal que

$$n\ge N \implies |x_n-x|< \epsilon \quad \mathrm{and} \quad |y_n-y|< \epsilon.$$ We have that, if $n,m\ge N$ entonces

$$|x-y|\le |x_n-x|+|y_m-y|+|x_n-y_m|<|x_n-y_m|+2\epsilon.$$ Now, since $ \{x_n:n\in\mathbb{N}\}=\{y_n:n\in\mathbb{N}\}$ and $\{n: x_n = z\}$ and $\{n: y_n = z\}$ are finite, there exist $x_n$ and $y_m$ with $n,m\ge N$ such that $y_m=x_n.$ así,

$$|x-y|<2\epsilon.$$ Since $\epsilon$ is arbitrary we can conclude that $x=y.$

Answer 4

Creo que su criterio de trabajo (al menos cuando la topología es Hausdorff). Porque si usted toma $x$ (resp. $y$) el límite de $(x_n)$ (resp. $(y_n)$ ), a continuación, usted tiene que $x\in Adh(\{x_n|n\in\mathbb{N}\})$ la adhesión del conjunto de la secuencia de $(x_n)$ (tiene la misma para $(y_n)$.

Ahora que usted sabe (aquí uso que la topología es Hausdorff y también que la topología de un sistema contable de barrio en cada punto) que :

$$Adh(\{x_n|n\in\mathbb{N}\})=\{x_n,n\in\mathbb{N}\}\cup \{\text{limits of converging subsequences}\}=\{x_n,n\in\mathbb{N}\}\cup \{x\} $$

Porque de lo que usted supone $x$ no puede ser en $\{x_n,n\in\mathbb{N}\}$, por lo que la unión es distinto. Pero ahora, por la misma razón :

$$Adh(\{y_n|n\in\mathbb{N}\})=\{y_n,n\in\mathbb{N}\}\cup \{y\} $$

Y porque :

$$Adh(\{x_n|n\in\mathbb{N}\})=Adh(\{y_n|n\in\mathbb{N}\})$$

y :

$$\{x_n,n\in\mathbb{N}\}=\{y_n,n\in\mathbb{N}\}$$

Se obtiene que el punto extra $x$ $Adh(\{x_n|n\in\mathbb{N}\})$ $\{x_n|n\in\mathbb{N}\}$y el punto extra $y$ $Adh(\{y_n|n\in\mathbb{N}\})$ $\{y_n|n\in\mathbb{N}\}$debe ser igual.

Me han hecho fuerte suposición acerca de la topología (Hausdorff y sistema contable de los barrios) esto se verifica si el espacio topológico es un espacio métrico. Creo que no funciona si se deja fuera del sistema contable de barrio, sino de salir de Hausdorff para un $T_1$-topología debería funcionar así (a $T_1$-topología es una topología para que todos los puntos están cerrados).