Todas las líneas de la cuádrica de Segre

Question

Encontrar todas las líneas de la quadric surface en $\mathbb P^3$ definido por la ecuación $$xw=yz$$ (con las coordenadas homogéneas $[x:y:z:w]$ del curso).

Ahora es bien sabido que por el Segre incrustación hay un isomorfismo $\mathbb P^1 \times \mathbb P^1$ con nuestros quadric. Además, las imágenes de $\{[u_0,v_0]\}\times \mathbb P^1$ $\mathbb P^1 \times \{[s_0,t_0]\}$ dar dos fallos de las líneas de nuestro quadric. He oído, sin embargo desde mi maestro estas son todas las líneas de la quadric. Es allí cualquier manera de mostrar esto que no es demasiado teóricamente involucradas?

Answer 1

Cualquier línea en $\mathbb{P}^{3}$ es un punto de intersección de dos planos. Para entender qué son las líneas en el interior de la quadric $xw=yz$, es suficiente para entender cuando el hyperplane secciones de $xw=yz$ $\mathbb{P}^3$ contienen una línea.

Deje $ax+by+cz+dw=0$ ser un avión en $\mathbb{P}^3$. Por el teorema de Bezout, la intersección de a $ax+by+cz+dw=0$ $xw=yz$ es una curva de grado 2. Si esta curva es irreducible, entonces no hay ninguna esperanza de encontrar una línea! Si esta curva es una unión de dos líneas, a continuación, nos hemos encontrado con éxito un par de líneas.

Así que tenemos que entender qué condiciones deben ser impuestas en los coeficientes $[a, b, c, d]\in\mathbb{P}^3$ de manera tal que el avión $ax+by+cz+dw=0$ intersecta $xw=yz$ en un par de líneas.

La reclamación. $ax+by+cz+dw=0$ intersecta $xw=yz$ en un par de líneas, si y sólo si $ad=bc$.

Prueba. $(\Leftarrow)$ Multiplicar $ax+by+cz+dw=0$ $w$ y el uso de $xw=yz$ conseguir $ayz+byw+czw+dw^2=0$. Este es un plano de la curva en $\mathbb{P}^{2}$ (con coordenadas $y, z, w$), como era de esperar. Ahora, se multiplican ambos lados por $b$ para obtener $$ abyz+b^2yw+bczw+bdw^2=0 $$ El uso de la hipótesis de $ad=bc$ para obtener $$ abyz+b^2yw + adzw + bdw^2 = 0 $$ que convenientemente factores como $$ (az+bw) (+dw)=0 $$ así que conseguir un par de líneas.

$(\Rightarrow)$ Esto se lo dejo como ejercicio. Intente factor de la quadric ecuación, y demuestra que tal factorización de las fuerzas $ad=bc$. $\square$

Así que ahora podemos responder a la pregunta "¿cuáles son todas las líneas de la quadric surface $xw=yz$?" Así, la prueba de la demanda muestra que las líneas en $xw=yz$ son de la forma $az+bw=0$ $by+dw=0$ (visto en $\mathbb{P}^2$ con coordenadas $y,z,w$) tal que $ad=bc$. Aquí $a, b, c, d$ provienen de la hyperplane $ax+by+cz+dw=0$. Ahora, una vez que usted puede arreglar los $[a, b]\in\mathbb{P}^{1}$, se obtiene la línea de $az+bw=0$. Y si usted fix $[b, d]\in\mathbb{P}^{1}$, se obtiene la línea de $by+dw=0$. Creo que estas dos familias de líneas son las deseadas sentencias.

Estoy muy interesado en ver de una forma más concisa y conceptual respuesta!

Answer 2

Deje $\mathbb{K}^2_2$ ser el espacio vectorial de $2\times2$ matricies con valores en el campo de $\mathbb{K}$, vamos a $\mathbb{P}=\mathbb{P}\left(\mathbb{K}^2_2\right)\cong\mathbb{P}^3_{\mathbb{K}}$ el projectivized espacio de $\mathbb{K}^2_2$; por definición, el Segre, quadric es $$ \Sigma=\left\{[M]\in\mathbb{P}\mediados de rango(M)=1\right\}. $$ Deje $[M]=P\neq Q=[N]\in\Sigma$ y deje $L$ ser la línea que pasa a través de$P$$Q$; por definición $$ L\subconjunto\Sigma\ffi\forall[A]\L,\,rango(A)=1, $$ porque $$ L=\left\{[sM+tN]\in\mathbb{P}\mid[s:t]\in\mathbb{P}^1_{\mathbb{K}}\right\} $$ entonces $$ L\subconjunto\Sigma\ffi\forall[s:t]\in\mathbb{P}^1_{\mathbb{K}},\,[sM+tN]\en\Sigma\iff rango(sM+tN)=1. $$ Deje $[M]=\left[m_i^j\right]\neq[N]=\left[n_i^j\right]\in\Sigma$; por condición de $rank(sM+tN)=1$ cualquier $[s:t]\in\mathbb{P}^1_{\mathbb{K}}$, uno tiene $$ \det\begin{pmatrix} sm_1^1+tn_1^1 & sm_1^2+tn_1^2\\ sm_2^1+tn_2^1 & sm_2^2+tn_2^2 \end{pmatrix}=\dots=st(m_1^1n_2^2+m_2^2n_1^1-m_1^2n_2^1-m_2^1n_1^2)=0; $$ es decir, la línea de $L$ pasando a través de $P$ $Q$ $\Sigma$ si y sólo si $m_1^1n_2^2+m_2^2n_1^1-m_1^2n_2^1-m_2^1n_1^2=0$!

En otras palabras, un avión $\pi$ $\mathbb{P}$ de ecuación Cartesiana $a_0x_0+a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3=0$ intersecta $\Sigma$ en un par de dos líneas, si y sólo si $a_0a_3-a_1a_2=0$.

De lo contrario, si $$ \existe[s:t]\in\mathbb{P}^1_{\mathbb{K}}\mediados de rango(sM+tN)=2 $$ $L$ es un secante de la línea de a $\Sigma$!

Comentario: Este razonamiento es generalizable para los genéricos de Segre variedad $\Sigma_{m,n}$$\mathbb{P}^{(m+1)(n+1)-1}_{\mathbb{K}}$.