Encontrar la soluciones (complejas) $z$ $z^4 = w$

Question

¿Cuáles son las posibles soluciones a $$z^4 = w$$ where $z \in \mathbb{C} $ and $w \in \mathbb{R}$?

Aquí está mi intento:

Escribir números en forma polar: $r^4(\cos 4 \theta + i\sin 4 \theta) = w(\cos 0 + i \sin 0) $.

Trabajando con los convenios de $r \geq 0$ $0 \leq \theta < 2\pi$ me sale lo siguiente:

$r^4 = w \iff r = w^\frac{1}{4}$

y

$4\theta = n2\pi$ donde $n \in \mathbb{Z}$.

$\Rightarrow \theta = \frac{n}{2}\pi$

Así, tenemos cuatro posibles soluciones:

$z = w^\frac{1}{4}(\cos 0 + i \sin 0) = w^\frac{1}{4}$

$z = w^\frac{1}{4}(\cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2})= iw^\frac{1}{4}$

$z = w^\frac{1}{4}(\cos \pi + i \sin \pi) = -w^\frac{1}{4}$

$z = w^\frac{1}{4}(\cos \frac{3\pi}{2} + i \sin \frac{3\pi}{2}) = -iw^\frac{1}{4}$

Es este fiar, falta algo o mucho no riguroso?

Answer 1

Si $w < 0$, entonces la ecuación $r = w^{1 / 4}$ no es aún sensible, como cualquier cuarto es nonreal raíz de $w$ (y de todas formas en este caso no hay una opción preferida entre ellos) pero $r$ es una variable real. La solución es escribir cualquier $w < 0$ en forma polar como $$w = |w|e^{\pi i} = |w|(\cos \pi + i \sin \pi).$$ Then, regardless of the sign of $w $ we have $r = | w | ^ {1 / 4} $, and when $w < 0$ our equation in $\theta$ becomes $4 \theta = (2n + 1) \pi$.

Answer 2

Asumir $z\in\mathbb{C}$ y $w\in\mathbb{R}$:

$$z^4=w\Longleftrightarrow$$ $$z^4=|w|e^{\arg(w)i}\Longleftrightarrow$$ $$z^4=we^{0i}\Longleftrightarrow$$ $$z=\left(we^{2\pi ki}\right)^{\frac{1}{4}}\Longleftrightarrow$$ $$z=\sqrt[4]{w}e^{\frac{2\pi ki}{4}}\Longleftrightarrow$$ $$z=\sqrt[4]{w}e^{\frac{\pi ki}{2}}$$

$k\in\mathbb{Z}$ Y $k:0-3$

---

Por lo tanto las soluciones son:

$$z_0=\sqrt[4]{w}e^{\frac{\pi\cdot 0i}{2}}=\sqrt[4]{w}e^{0}=\sqrt[4]{w}$$ $$z_1=\sqrt[4]{w}e^{\frac{\pi\cdot 1i}{2}}=\sqrt[4]{w}e^{\frac{\pi i}{2}}=i\sqrt[4]{w}$$ $$z_2=\sqrt[4]{w}e^{\frac{\pi\cdot 2i}{2}}=\sqrt[4]{w}e^{\pi i}=-\sqrt[4]{w}$$ $$z_3=\sqrt[4]{w}e^{\frac{\pi\cdot 3i}{2}}=\sqrt[4]{w}e^{\frac{3\pi i}{2}}=-i\sqrt[4]{w}$$

Por lo tanto podemos concluir que las soluciones son:

$$z=\pm\sqrt[4]{w} \space\space\vee\space\space z=\pm i\sqrt[4]{w}$$