¿Un general fórmula explícita para la función summatory divisor generalizada?

Question

Mertens función tiene, por residuos, una fórmula explícita de

$M(x)=\displaystyle\sum_{\rho}\frac{x^\rho}{\rho\zeta'(\rho)}-2+\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{2 n}(2\pi)^{2n}}{(2n)! n \zeta(2n+1)x^{2n}}$

donde $\rho$ son los ceros de $\zeta(s)$, como de costumbre.

Mientras tanto, si utilizamos esta generalizada de identidad para el número de divisores de función, $d_z(n)=\displaystyle\prod_{p^\alpha | n}\frac{(z)(z+1)..(z+\alpha-1)}{\alpha!}$, no es mucho trabajo para ver que la función de Moebius $\mu(n)$ es igual a $d_{-1}(n)$, y con $D_z(n) = \sum_{j=1}^n d_z(j)$,$M(n) = D_{-1}(n)$.

Hay una fórmula explícita, similar a la de $M(n)$, por encima, para el caso más general de $D_z(n)$ que la fórmula para $M(n)$ es una especialización de?

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Algo más de detalle, en respuesta a Eric N.:

Entiendo que no podemos utilizar los residuos para obtener una fórmula explícita, por las razones mencionadas. Pero, ¿que conducen naturalmente a la idea de que no hay / no podía ser explícito fórmulas para $D_k(n), k>0$ que utilizan los Zeta Ceros?

Quiero hacer una visual, intuitiva, argumento aquí. Aquí está una identidad para $D_z(n)$ para el complejo z.

$\displaystyle D_z(n) = \frac{z^0}{0!}1+\frac{z^1}{1!}\sum_{j=2}^n \kappa(j)+\frac{z^2}{2!}\sum_{j=2}^n \sum_{k=2}^{\lfloor \frac{n}{j} \rfloor} \kappa(j) \kappa(k)+\frac{z^3}{3!}\sum_{j=2}^n \sum_{k=2}^{\lfloor \frac{n}{j} \rfloor}\sum_{l=2}^{\lfloor \frac{n}{j k} \rfloor} \kappa(j) \kappa(k) \kappa(l)+\frac{z^4}{4!}...$

donde $\kappa(n) = \frac{\Lambda(n)}{\log n}$. Definir $\displaystyle P_k(n)=\sum_{j=2}^{n}\kappa(j) P_{k-1}(\lfloor \frac{n}{j} \rfloor)$$P_0(n)=1$, y reiterar que como

$\displaystyle D_z(n) = \frac{z^0}{0!}P_0(n)+\frac{z^1}{1!}P_1(n)+\frac{z^2}{2!}P_2(n)+\frac{z^3}{3!}P_3(n)+\frac{z^4}{4!}P_4(n)+...$

$P_k(n) = 0$ si $n < 2^k$, por lo que sólo $\log_2 n$ términos son no-cero. Esto significa que, si usted ha calculado los no-cero $P_k(n)$ términos, es trivial calcular $D_z(n)$ para cualquier z en $\log_2 n$ operaciones.

Ahora, el uso de esta identidad para animar, en Mathematica, $\displaystyle\frac{(D_z(n)-1)}{z}$ en el rango $z = 1$$z = -1$.

K[n_] := FullSimplify[MangoldtLambda[n]/Log[n]]
P[n_, k_] := P[n, k] = Sum[ K[j] P[Planta[n/j], k - 1], {j, 2, n}];P[n_, 0] := 1
DD[n_, k_] := Sum[ k^j/j! P[n, j], {j, 0, Log[2, n]}]
La animación[DiscretePlot[ (DD[n, z = Cos[k] ] - 1)/z, {n, 1, 100}], {k, 0, 2 Pi, .0001}]

Lo que vas a ver, si usted mira esta animación, es una animación de línea que comienza como f(x)=(x-1), razas y en su forma más rápida es la de Riemann Primer función de Recuento de derecho cuando z=0, y, finalmente, se detiene en (1-Mertens Función), antes de que los ciclos de copia de seguridad - con todo, un buen transformación gradual entre los tres funciones importantes.

Sé que es sólo un recurso de apelación a efectos visuales, pero siento que lo que está pasando en $D_{-.2}(n)/-.2$ parece continuo con lo que está pasando en $D_{.2}(n)/.2$. He aquí un vistazo más de cerca al.

La animación[DiscretePlot[(DD[n, z = Cos[k]*.2] - 1)/z, {n, 1, 400}], {k, 0, 2 Pi, .0001}]

Supongo que cualquier cosa es posible, pero que hiere profundamente a mis sentidos de simetría para pensar la Zeta Ceros son los de contabilidad para el de alta frecuencia de la parte de la línea, de -.2 a 0 y, a continuación, en el parpadeo de un ojo, otra cosa es la contabilidad por lo que es casi exactamente la misma información de alta frecuencia. Son mis instintos mal?

Algunas Notas Más Sobre Todo Esto

Esa identidad para $D_z(n)$ proviene de Linnik la identidad de sumarse, invertida, y generalizar un poco. Hay una identidad correspondiente para$d_z(n)$.

En la notación anterior, $P_1(n) = \Pi(n)$, la de Riemann Primer Función de Conteo.

Como era casualmente se demostró anteriormente, $\displaystyle \lim_{z \to 0}\frac{D_z(n)-1}{z} = \Pi(n)$.

Usted puede obtener este último resultado más fácilmente tomando la $d_z(n)=\displaystyle\prod_{p^\alpha | n}\frac{(z)(z+1)..(z+\alpha-1)}{\alpha!}$, y observando que $\displaystyle \lim_{z \to 0}\frac{d_z(n)}{z} = \frac{\Lambda(n)}{\log n}$, excepto en la 1, donde el límite es el infinito.

Answer 1

Me puede dar una respuesta parcial a esta. Mis disculpas si estoy diciendo lo que ya sabemos.

Primero, vamos a revisar cómo la fórmula explícita para la Merten de la función derivada. Tenemos que $$\frac{1}{\zeta(s)} = \sum_{n=1}^\infty \mu(n) n^{-s}.$$

Tenemos $$M(x) = \frac{1}{2 \pi i}\int_{2-i\infty}^{2+i\infty} \frac{1}{\zeta(s)} \frac{x^s}{s} dx,$$ y el residuo teorema da la fórmula explícita que se mencionó anteriormente. Tenga en cuenta que los ceros de $\zeta$ se convierten en polos de $\zeta^{-1}$, de modo que las dos sumatorias en su fórmula corresponden a los ceros no triviales y el trivial de los ceros de Riemann zeta función respectivamente. También la $1/s$ plazo nos da un poste en $s=0$, lo que nos da un residuo de $1/\zeta(0) = -2$.

De manera más general, podemos definir una función de $d_k(n)$ por la de Dirichlet de la serie dada por $\zeta^k$:

$$\zeta(s)^k = \sum_{n=1}^\infty d_k(n) n^{-s}.$$

Entonces, para $k\geq 1$, $d_k(n)$ da el número de representaciones de $n$ como producto de la $k$ enteros positivos, dada explícitamente por su producto fórmula de arriba. En particular, $d_2(n)$ da el número de divisores positivos de $n$. También, como usted ha mencionado, $d_{-1}(n) = \mu(n)$, la función de Möbius.

(Para $k<-1$, estoy no han comprobado si mi definición usando la de Dirichlet de la serie coincide con la fórmula del producto.)

Ahora usted puede intentar encontrar una fórmula explícita mediante la realización de la integral de contorno $$D_k(x) = \sum_{n<x} d_k(n) = \frac{1}{2 \pi i}\int_{2-i\infty}^{2+i\infty} \zeta(s)^k \frac{x^s}{s} dx.$$

Ahora podemos ver que la fórmula explícita obtendrá será muy diferente dependiendo de si $k$ es positivo o negativo. Si $k$ es positivo, en el término que vendrá a partir de los residuos de la pole en $s=1$, y este plazo será de la forma $xP(\log x)$ donde $P$ es un polinomio de grado $k-1$. Si $k$ es negativa, usted va a recoger los residuos en todos los ceros de $\zeta$, como en el caso de $k=-1$.