Cómo mostrar que cada primer ideal es un ideal maximal si todos $a \in R$ allí existe $b \in R$ tal que $a^2b=a$.

Question

Aquí es la declaración completa de la cuestión (pensé que era un poco demasiado largo para el título).

Dado un anillo comutativo $R$ $1 \neq 0$ tales que para todos los $a \in R$ allí existe $b \in R$ tal que $a^2b=a$. Muestran que en $R$ cada primer ideal es máxima.

Estaba tratando de mostrar que cada ideal que tiene un ideal principal como un subconjunto estricto es del $R$. Estaba tratando de hacer esto demostrando que $1$ sería un elemento de este ideal.

¡Gracias!

Answer 1

Considerar el cociente $A=R/\mathfrak p$ $R$ modulo de un primer ideal $\mathfrak p$. En $A$ nosotros todavía tienen la propiedad de que para cada una de las $a\in A$ existe $b$$a^2b=a$, es decir,$a(ab-1)=0$. Desde $A$ no tiene ningún cero divisores, esto implica $ab=1$ si $a\ne 0$. En otras palabras, $A$ es un campo y, por tanto, $\mathfrak p$ máximo.

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Por supuesto, el argumento también puede ser llevado a cabo directamente en $R$, pero la vista a través de los cocientes es donde la prueba "viene de": Deje $\mathfrak m$ ser un ideal maximal que contiene a $\mathfrak p$ y asumir existe $a\in\mathfrak m\setminus\mathfrak p$. El uso de $a^2b=a$ algunos $b\in R$ obtenemos $a(ab-1)=0\in\mathfrak p$, por lo tanto $ab-1\in \mathfrak p\subseteq\mathfrak m$. Como $a\in\mathfrak m$, esto implica $1\in\mathfrak m$, contradicción.