Un espacio métrico es un par $(X,d)$ que consiste en un conjunto $X$ y una métrica $d$ . En cambio, un espacio metrizable es un espacio topológico $(X,\tau)$ tal que existe una métrica $d$ que induce la topología $\tau$ . Esta métrica $d$ puede no ser único.
Existe un functor fiel $U:\mathbf{Met}\to\mathbf{MTop}$ que envían $(X,d)$ a $(X,\tau)$ y un mapa $f$ a sí mismo. Dependiendo de los morfismos $\mathbf{Met}$ tiene, esto puede ser o no un functor completo. Si $U$ no es un functor completo, entonces $\mathbf{Met}$ no puede ser equivalente a $\mathbf{MTop}$ .
Por otro lado, si se toman todos los mapas continuos como los morfismos en $\mathbf{Met}$ entonces $U$ es totalmente fiel. Dado que para cada espacio metrizable $(X,\tau)$ existe un espacio métrico $(X,d)$ con $U(X,d)=(X,\tau)$ , $U$ también es suryectiva, lo que implica que forma parte de una equivalencia adjunta $(F,U;\text{Id}_{(X,\tau)},\varepsilon)$ . Como vemos, la unidad $\eta$ es la identidad en el espacio $(X,\tau)$ . Para tales adjuntos, el adjunto izquierdo $F$ se llama unión izquierda-derecha-inversa (El " -Derecha-inversa "viene del hecho de que si $\eta$ es la identidad, entonces $UF$ es el functor de identidad, por lo que $F$ es un inverso de la derecha de $U$ .)
