Encontrar $A^n$ para una matriz

Question

Tengo una matriz $$ A = \left[ {\begin{array}{cc} 1 & c \\ 0 & d \\ \end{array} } \right] $$

con $c$ $d$ constante. Necesito encontrar $A^n$ ($n$ positivo) y, a continuación, necesita probar que la fórmula mediante la inducción.

Me gustaría comprobar que la fórmula que se deriva es la correcta:

$$ A^n = \left[ {\begin{array}{cc} 1 & c^{n-2}(dc + c) \\ 0 & d^n \\ \end{array} } \right] $$

Si esto es correcto, ¿cómo puedo demostrarlo? Supongo que puedo escribir $A^{n+1} = A^n A$, que sería

$$ \left[ {\begin{array}{cc} 1 & c^{n-2}(dc + c) \\ 0 & d^n \\ \end{array} } \right] \left[ {\begin{array}{cc} 1 & c \\ 0 & d \\ \end{array} } \right] $$

Pero entonces, ¿qué iba a hacer?

Gracias.

Answer 1

La inducción matemática es el camino a seguir, pero primero usted quiere tener un "objetivo". No estoy seguro de lo que hizo, pero creo que te has confundido $c$ $d$ en algún lugar a lo largo de la línea en sus cálculos. Vamos a ver un primer par de valores:

$$\begin{align*} A&= \left(\begin{array}{cc}1&c\\0&d\end{array}\right)\\ A^2 &= \left(\begin{array}{cc}1&c\\0&d\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1&c\\0&d\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc}1 & c+cd\\0&d^2\end{array}\right).\\ A^3 &= \left(\begin{array}{cc} 1&c+cd\\ 0 &d^2\end{array}\right) \left(\begin{array}{cc} 1 & c\\ 0 & d\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc} 1 & c+cd+cd^2\\ 0 & d^3 \end{array}\right).\\ A^4 &= \left(\begin{array}{cc} 1&c+cd+cd^2\\ 0 & d^3 \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} 1 & c\\0 & d\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc} 1 & c + cd + cd^2 + cd^3\\ 0 & d^4 \end{array}\right). \end{align*}$$ Bueno, que sugiere el patrón:

Conjetura. Para cada entero positivo $n$, $$A^n = \left(\begin{array}{cc} 1 & c(1+d+d^2+\cdots + d^{n-1})\\ 0 & d^n \end{array}\right).$$

Para demostrar la conjetura, que el uso de la inducción matemática. Probar que la fórmula es verdadera para $n=1$, y luego, suponiendo que la fórmula tiene por $k$, demostrar que tiene de $k+1$. Tenemos:

Base. Para $n=1$, tenemos $$A = \left(\begin{array}{cc}1 & c\\0 & d\end{array}\right),$$ por lo que la fórmula se mantiene.

Inductivo paso. Demostrar que si la fórmula tiene por $k$, entonces también se cumple para $k+1$.

Inducción de la hipótesis. Suponga que el resultado vale para $k$; es decir, que $$A^k = \left(\begin{array}{cc} 1 & c(1+d+\cdots+d^{k-1})\\0 & d^k \end{array}\right).$$

Ahora tenemos: $$\begin{align*} A^{k+1} & = A^kA\\ &= \left(\begin{array}{cc} 1 & c(1+d+\cdots + d^{k-1})\\0 & d^k\end{array}\right) \left(\begin{array}{cc} 1 & c\\0 & d\end{array}\right)\\ &= \left(\begin{array}{cc} 1 & c + cd(1+d+\cdots + d^{k-1})\\ 0 & d^{k+1}\end{array}\right)\\ &= \left(\begin{array}{cc} 1 & c(1 + d(1+d+\cdots + d^{k-1}))\\ 0 & d^{k+1}\end{array}\right)\\ &= \left(\begin{array}{cc} 1 & c(1+d+d^2+\cdots + d^k)\\ 0 & d^{k+1}\end{array}\right). \end{align*}$$ Que es exactamente la fórmula que hemos evaluado en $k+1$. Por lo tanto, si la fórmula tiene por $k$, entonces se cumple para$k+1$.

Así que: la fórmula se tiene para $n=1$; y si se mantiene por $n=k$, entonces también se cumple para $n=k+1$. Por Inducción Matemática, llegamos a la conclusión de que la fórmula tiene para todos los $n$.

Answer 2

$a_n$ Ser la esquina superior derecha de $A^n$ y asumiendo que es obvio que es de la esquina inferior derecha de $A^n$ $d^n$ y la columna de la izquierda es $[1,0]^T$, obtenemos:

$$ A ^ {n + 1} = A ^ n A = \left [{\begin{array}{cc} 1 & a_n \\ 0 & d^n \\ \end{matriz}} \right] \left [{\begin{array}{cc} 1 & c \\ 0 & d \\ \end{matriz}} \right]$$

Esto nos da $a_{n+1} = c + d a_n$, % y $a_1=c$.

En particular, entonces $a_n = c + cd + cd^2 + ... + cd^{n-1} = c\frac{d^n-1}{d-1}$.

Por lo tanto:

$$ A ^ n = \left [{\begin{array}{cc} 1 & c\frac{d^n-1}{d-1} \\ 0 & d^n \\ \end{matriz}} \right]$$

Answer 3

Para esta matriz, es bastante fácil calcular los primeros poderes y la conjetura de una conjetura para probar por inducción, pero hay un montón de matrices (aun $2\times 2$ matrices) donde tratando de encontrar un patrón es significativamente más difícil. El siguiente método funciona de manera más general:

1. Diagonalize $A$, es decir, escribir $A=SDS^{-1}$ donde $S$ es invertible y $D$ es diagonal. En general, puede que tenga que utilizar la forma normal de Jordan, que hará las cosas complicadas, pero aún solucionable.

2. $A^n=(SDS^{-1})^n= SD^nS^{-1}$. Esto es fácil de calcular, porque si $D=\operatorname{diag}(d_1,d_2,\ldots, d_k)$,$D^n=\operatorname{diag}(d^n_1,d^n_2,\ldots, d^n_k)$.

En nuestro caso particular, si $d\neq 1$, la matriz es diagonalizable, y hemos $D=\pmatrix{1 & 0 \\ 0 & d}$, $S=\pmatrix{1 & \frac{c}{d-1} \\ 0 & 1}$, y por lo $$A^n=\pmatrix{1 & \frac{c}{d-1} \\ 0 & 1}\pmatrix{1 & 0 \\ 0 & d^n}\pmatrix{1 & \frac{-c}{d-1} \\ 0 & 1}$$

Answer 4

Una matriz puede ser visto como la máquina que hace algo para que el avión $\mathbb R^2$, en este caso se requiere de un punto de $(x,y)$, y lo transporta a un punto de $(x',y')$ a lo largo de la dirección de la $(c, d-1)$ por un factor de $y$ (transporta de un punto a lo largo de la recta con pendiente $\frac{d-1}{c}$, por lo que las aplicaciones repetidas no debe tomarlo de esta línea). Aviso, el factor no tiene nada que ver con $x$, por lo que tenemos que acaba de ver cómo el nuevo $y$'s están siendo formados. Así, la aplicación repetida de $A$$(x,y) \mapsto (x,y)+y(c,d-1) \mapsto ((x,y)+ y(c,d-1)) + dy(c,d-1) \mapsto \ldots$. Es decir, $(x,y) \mapsto (x,y)+(1+d+d^2+\ldots)y(c,d-1)$. Que es: $(x,y) \mapsto (x,y) + y(c\sum d^k,d^{n}-1)$. Que se puede escribir en forma de matriz.