¿Cualquier ideal $I \subsetneq \mathbb{C}(X)$ el conjunto de $\{x \in X: f(x) = 0 \text{ for all }f \in I\}$ no está vacío?

Question

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Que $X$ sea un espacio métrico compacto y $\mathbb{C}(X)$ el álgebra de funciones continuas $f: X \to \mathbb{C}$, con las operaciones de pointwise. ¿Sigue que cualquier ideal $I \subsetneq \mathbb{C}(X)$ % set $$\{x \in X: f(x) = 0 \text{ for all }f \in I\}$$ no es vacío?

Answer 1

Sí, esto es cierto.

En primer lugar debe considerar finito muchos elementos $f_1, \dotsc, f_n \in I$. Suponga que no tengan cero común. Entonces la función $f=\sum f_i\overline{f_i}$ no tiene ningún cero, por lo tanto $f$ es una unidad. ¡En el otro mano $f \in I$, contradicción!

Para obtener un cero común para todos los elementos de $I$, tenemos que usar, por supuesto - compacidad: para encontrar una adecuado abrir la cubierta, que hace el truco, tenga en cuenta que lo siguiente es cierto para cualquier conjunto de $M \subset \mathbb C(X)$:

$$ \text{ The elements in } M \text{ have no common zero} \Leftrightarrow \bigcap_{f \in M} f^{-1}(\{0\}) = \emptyset \Leftrightarrow \bigcup_{f \in M} f^{-1}(\mathbb C \setminus \{0\}) = X$$