Resolver para

Question

Resolver $x$: $$x\lfloor x + 2 \rfloor +\lfloor 2x - 2 \rfloor +3x =12$ $

Mi intento: he cambiado esta ecuación en la función de la parte fraccionaria. para que sepamos $0 \leq \{x\}<1$. Tengo ecuación final $x^2 +7x-x\{x+2\}-\{2x-2\}=14$. ¿Cómo proceder ahora?

Answer 1

En primer lugar, con un poco de simplificación, llegamos a $x(\lfloor x \rfloor+5) +\lfloor 2x \rfloor =14$.

Caso: $x> 0$:

Claramente el LHS es una función creciente en $x$, así que si hay una solución, es único. Tampoco es difícil para limitar rápidamente a $x \in (\frac32, 2)$, y, a continuación, la solución es fácil,$x = \frac{11}6$.

Caso $x< 0$:

Mientras que la función no es monótona, es todavía un modelo lineal por tramos, con discontinuidades de salto al $2x$ es un número entero. Podemos encontrar un adecuado intervalo de acotar el estudio, pero tal vez el más sistemático será de ayuda. El uso de $ x-1 < \lfloor x \rfloor \le x$, nos encontramos con los límites: $$ x^2 +5x+2(x-1) < x \lfloor x \rfloor + 5x + \lfloor 2x \rfloor < x(x-1)+5x+2x $$ $$ \implies x^2 +7x -2 < x \lfloor x \rfloor + 5x + \lfloor 2x \rfloor < x^2+6x$$ De los límites implica que cualquier negativo de la raíz, si es que existe, $ \in (-\frac{7+\sqrt{113}}2, -3-\sqrt{23}) \approx (-8.8, -7.8)$. Queda por mostrar considerando los intervalos de $(-9, -8.5), [-8.5, -8), [-8, -7.5)$, donde la función es lineal, no hay solución. En estos intervalos la función es $-4x-18, -4x-17, -3x-16$ respectivamente, y nunca es $14$. De ahí que no haya negativo de la raíz.

Answer 2

Desde $$\lfloor x+2\rfloor=\lfloor x\rfloor+2,\quad \lfloor 2x-2\rfloor=\lfloor 2x\rfloor-2$ $ la ecuación puede ser escrita como $$x(\lfloor x\rfloor+2)+\lfloor 2x\rfloor-2+3x=12,$ $ es decir $$x\lfloor x\rfloor+5x+\lfloor 2x\rfloor=14\tag 1$ $

Ahora nos separan en casos:

Caso 1: $x=m+\alpha$ donde $m\in\mathbb Z$ y $0\le\alpha\lt \frac 12$.

$$\begin{align}(1)&\Rightarrow (m+\alpha)m+5m+5\alpha+2m=14\\&\Rightarrow (m+5)\alpha=-m^2-7m+14\\&\Rightarrow \alpha=\frac{-m^2-7m+14}{m+5}\qquad (\text{since $m+5\not=0$})\\&\Rightarrow 0\le \frac{-m^2-7m+14}{m+5}\lt \frac 12\end{align}$$ allí es no hay tal $m$.

Caso 2: $x=m+\alpha$ donde $m\in\mathbb Z$ y $\frac 12\le\alpha \lt 1$.

$$\begin{align}(1)&\Rightarrow (m+\alpha)m+5m+5\alpha+2m+1=14\\&\Rightarrow (m+5)\alpha=-m^2-7m+13\\&\Rightarrow \alpha=\frac{-m^2-7m+13}{m+5}\qquad (\text{since $m+5\not=0$})\\&\Rightarrow \frac 12\le \frac{-m^2-7m+13}{m+5}\lt 1\\&\Rightarrow m=1,\alpha=\frac 56\end{align}$$

Por lo tanto, $\color{red}{x=\frac{11}{6}}$ es la única solución.

Answer 3

Dejaría $x=y+z$, con entero $y$ y $0\leq z<1,z=\{x\}$. Entonces $$(y+z)(y+2)+2y-2+3y+3z=12$ $ o $$(y+z)(y+2)+2y-1+3y+3z=12$ $ así, por ejemplo, $z(y+5)$ es un número entero, así que se permiten sólo algunas fracciones.
Además, 12 es entre $y(y+2)+2y-2+3y$y $(y+1)(y+2)+2y-2+3y+3$, para el primer caso, o algo similar para el segundo caso; y $y$ es un entero.