¿Qué es exactamente una medida Haar

Question

Me he encontrado con al menos 3 definiciones, por ejemplo:

Tomado de aquí donde $\Gamma$ es un grupo topológico. Aparentemente, esta definición no requiere que la medida de Haar sea finita en conjuntos compactos.

O de Wikipedia : "... En este artículo, el $\sigma$ -algebra generada por todos los subconjuntos compactos de $G$ se llama el álgebra de Borel...." Luego $\mu$ definido en este álgebra sigma es una medida de Haar si es regular externo e interno, finito en conjuntos compactos e invariante de traducción.

Así que deduzco que la propiedad importante de una medida Haar es que es invariable en la traducción.

Pregunta 1: Lo que no entiendo es, ¿qué obtengo si lo defino en el álgebra sigma de Borel en vez de definirlo en el álgebra sigma generada por conjuntos compactos (como lo hacen en Wikipedia)?

Pregunta 2: ¿Puedo hacer suposiciones adicionales sobre $G$ para que pueda eliminar el requisito de que $\mu$ tiene que ser finito en sets compactos?

Pregunta 3: Como puedes adivinar por mis preguntas estoy hurgando en la oscuridad tratando de averiguar cómo definir una medida Haar adecuadamente. Aquí significa adecuadamente, quiero usarlo para definir un producto interno para que pueda tener series de Fourier. ¿Hay varias maneras de hacer esto que conducen a diferentes espacios? Con esto quiero decir, si lo defino en el álgebra sigma de Borel, ¿puedo hacer series de Fourier para un conjunto diferente de funciones que cuando tengo una medida en el álgebra sigma generada por conjuntos compactos? ¿O qué hay de la caída de la regularidad? ¿O dejar de lado la finitud en los conjuntos compactos?

Gracias.

Answer 1

Resumiendo algunos comentarios, y continuando: el punto principal es que la medida Haar es traducción-invariante (y para los grupos no isabelinos, en general, la izquierda-invariante y la derecha-invariante no son idénticas, pero la discrepancia es inteligible).

A menos que tengas intenciones de hacer algo exótico (digamos, en "grupos" no locales o no Hausdorff, lo cual no puedo recomendar), serás más feliz más tarde de tener un regular medida, así que, sí, la medida de un conjunto es la inf de las medidas de las aberturas que lo contienen, y es el sup de las medidas de los compactos que lo contienen, y, sí, la medida de un compacto es finita. Probablemente también querrá Completitud especialmente cuando se toman productos, por lo que los subconjuntos de conjuntos de medida cero tienen medida cero.

Probablemente también querrán que sus grupos tengan una base conjunta para evitar algunas patologías teóricas.

Entonces, para abeliano grupos topológicos (que significa compacto local, Hausdorff, probablemente con base en el cotejo), los fundamentos de las "series/transformaciones de Fourier" funcionan bastante bien, como en Pontryagin y Weil. La caja no etiquetada pero compacta también resulta muy bien.